4. Примеры линейных пространств.

1. Совокупность векторов, лежащих на одной прямой, образует линейное пространство, т.к. сложение векторов и умножение вектора на число приводят снова к векторам, лежащим на одной прямой. Свойства 1-8 легко проверяются. Обозначим L₁, пространство размерности d(L)=1.

2. Совокупность векторов, лежащих на одной плоскости также оказывается замкнутой относительно операций сложения и умножения на число. И образует линейное пространство размерности d(L)=2.

3. Совокупность всех векторов пространства является линейным пространством размерности d(L)=3.

4. Совокупность всех многочленов степени n.

для которых обычным образом введены операции сложения и умножения на число образует линейное пространство.

6. Множество непрерывных функций на а, в.

7. Множество матриц размера является замкнутым относительно операций сложения и умножения на число, т.е. образует линейное пространство (для доказательства матричные единицы нумеруются в каком – либо порядке).

_{Опр.: Непустое пространство векторов L}^ _{из L, которые сами образуют линейное пространство, называется подпространством линейного пространства.}

_{Размерность подпространства не превосходит размерности пространства.}

Для того чтобы убедится в том, что L^ является подпространством пространства L достаточно проверить операцию сложения и умножения на число. Все пространство L одновременно можно считать подпространством.

Задача 1: Образуют ли подпространство линейного пространства векторы лежащие в плоскости XOY, начало которых совпадают с началом координат, а концы лежат в первом квадрате.

y

Решение: проводим операцию сложения: сумма первому квадрату: произведение первому квадрату, если 0.

Ответ: не образует.

x

5. Евклидово пространство.

Определим операцию скалярного умножения векторов, а длину и угол введем с помощью этого определения.

_{О пр.: Линейное пространство называется Евклидовым, если в нем определена операция скалярного умножения: любым двум векторам , из L сопоставляется число ( , ) и выполняются следующие условия. Для  и числа  выполняются аксиомы:}

1. 

2. 

3. 

4. , из условия , вытекает, что

_{О пр.: Длиной, модулем или нормой вектора в Евклидовом пространстве называется:}

_{Опр.: Угол между векторами определим как}

_{Можно показать, что}

_{Это можно показать с помощью неравенства Коши – Буняковского .}

6. Базис линейного пространства.

_{Опр.: Совокупность n линейно – независимых векторов образует базис линейного пространства.}

_{Теорема: Если образуют базис, то любой вектор , можно представить в этом базисе, причем единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов}

Пример: Показать, что векторы _, , образует базис.

Р ешение: Если , , образуют базис, то они линейно независимы т.е. _{, при х1=х2=х3=0. Покажем это}

,

однородная система имеет тривиальное единственное решение, когда r=n=3, но это когда . Да, образует базис.