2.4 Формула повної ймовірності. Формула Байєса

Нехай подія може наступити лише з появою однієї з несумісних подій , що утворюють повну групу подій.

Припустимо, що відомі ймовірності цих подій й умовні ймовірності події А.

Як знайти ймовірність події А? Відповідь на це запитання дає наступна теорема.

Теорема 1. Імовірність події А, що може наступити лише з появою однієї з несумісних подій , що утворюють повну групу подій, дорівнює сумі добутків ймовірностей кожної з подій на відповідну умовну ймовірність події А:

,

де – імовірність події А, обчисленої за умови, що подія вже відбулася.

Ця формула називається формулою повної ймовірності.

Приклад 1. Є два набори деталей. Імовірність того, що деталь з першого набору стандартна, дорівнює 0,6, а аз другого – 08. Знайти ймовірність того, що взята навмання деталь з навмання взятого набору буде стандартна.

Розв’язання. Нехай А – подія, ймовірність якої треба знайти, тобто вийнята деталь стандартна. Таку деталь можна вийняти з першого набору (гіпотеза ), або з другого набору (гіпотеза ). Через то, що ці гіпотези однаково можливі, то . Умовна ймовірність того, що з першого набору буде вийнято стандартну деталь , а з другого – .

Шукана ймовірність знаходиться за формулою повної ймовірності

.

Нехай подія А може наступити лише за умови появи однієї з несумісних подій (гіпотез) , які утворюють повну групу подій. Якщо подія А вже відбулася, то ймовірності гіпотез можуть бути переоцінені за формулою Байєса:

,

де обчислюється по i.

Приклад 2. Нехай за умови попереднього прикладу вийнято стандартну деталь. Знайти ймовірність того, що її вийнято з першого набору.

Розв’язання. За формулою Байєса, підставляючи значення відповідних імовірностей (позначення ті ж, що і в попередній задачі), одержимо

.

2. 5 Повторення випробувань

2.5.1 Формула Бернуллі

Нехай проводиться незалежних випробувань, в кожному з яких може відбутися подія з ймовірністю ; ймовірність настання події при будь-якому випробуванні не залежить від результатів інших випробувань.

Потрібно знайти ймовірність того , що подія настане точно раз. Ця ймовірність знаходиться за формулою Бернуллі.

, (1)

де – ймовірність не настання події при одному випробуванні.

Приклад 1. Кидаємо монету 6 раз. Знайти ймовірність того, що герб випаде 1, 3, 5 разів.

Згідно з формулою (1) маємо:

.

Приклад 2. Знайти ймовірність того, що подія А з’явиться три рази в чотирьох випробуваннях, якщо ймовірність її появи в одному випробуванні дорівнює 0,1.

Розв’язання. Шукана ймовірність

.

Число , при якому ймовірність найбільша, називається найімовірнішим числом настання події .

– ціла частина числа . Якщо число – ціле, то також буде найімовірнішим числом настання події .

2.5.2 Формула Пуассона

Має місце рівність

, (1)

де .

Ця формула дає досить точне наближення при великих та малих ймовірностях (закон рідких явищ), для яких , але . Для знаходження ймовірностей (1), а також сум , можна користуватись спеціальними таблицями.

Приклад 1. Для кожного абонента ймовірність подзвонити на комутатор протягом однієї години дорівнює 0,01. Комутатор обслуговує 300 абонентів. Знайти ймовірність того, що протягом години подзвонять:

1) 4 абонента;

, , , , λ=np=3,

2) не більш 4 абонентів: