Контрольные варианты к задаче 3.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

1.	в треугольнике со сторонами .
2.	в треугольнике со сторонами .
3.	в замкнутой области, ограниченной и осью .
4.	в треугольнике со сторонами .
5.	в треугольнике со сторонами
6.	в замкнутой области, ограниченной и осью .
7.	в квадрате
8.	в квадрате
9.	в замкнутой области, ограниченной линиями и
10.	в области, ограниченной прямыми
11.	в области, ограниченной прямыми
12.	в прямоугольнике, ограниченном прямыми
13.	в треугольнике со сторонами
14.	в треугольнике со сторонами
15.	в треугольнике со сторонами
16.	в квадрате, ограниченном прямыми
17.	в треугольнике со сторонами .
18.	в треугольнике со сторонами .
19.	в замкнутой области, ограниченной и осью .
20.	в треугольнике со сторонами .
21.	в треугольнике со сторонами
22.	в замкнутой области, ограниченной и осью .
23.	в квадрате
24.	в квадрате
25.	в замкнутой области, ограниченной линиями и
26.	в области, ограниченной прямыми
27.	в области, ограниченной прямыми
28.	в прямоугольнике, ограниченном прямыми
29.	в треугольнике со сторонами
30.	в треугольнике со сторонами

Элементы скалярного поля

Производная скалярного поля по направлению вектора

(рис.3).

определяется так: – это скорость изменения скалярного поля в направлении вектора .

z

M₀

M β

α

0 у

x Рис. 3

Пример 6. Найти скорость изменения скалярного поля в точке в направлении от этой точки к точке .

Решение. Скорость изменения скалярного поля в направлении вектора в точке определяют по формуле

.

В задаче , ,

.

,

,

.

Подставим все найденные величины в первую формулу:

.

Ответ: В заданном направлении данное скалярное поле убывает со скоростью .

Градиент скалярного поля – вектор

.

Очевидно,

(рис. 7).

P₀ φ

Рис. 7

Пример 7. Найти величину градиента скалярного поля в точке .

Решение.

.

.

Ответ: .

Задача 4. Найти производную функции в точке в направлении от этой точки к точке .

Решение. Напишем формулу производной функции по направлению вектора .

, где - орт направления вектора .

Сначала найдем вектор , в направлении которого будем искать производную. = . Найдем длину . . Направляющие косинусы вектора совпадают с координатами орта , поэтому .

Теперь найдем частные производные функции .

Все найденные значения подставляем в формулу производной по направлению.

Вывод. Функция убывает по направлению вектора , так как полученная производная меньше нуля.

Ответ: