3.5 Метод Ричардсона практической оценки точности квадратурных формул
Рассмотрим приближённый метод оценки точности квадратурных формул. Приближённость метода состоит в том, что он корректен только для некоторого класса функций и полученные формулы для погрешности работают с точностью, до главных членов2. Мы же будем применять его для любых функций.
Пусть
,
при этом предположении мы получим
уточнение формулы прямоугольников.
Производя разложение в ряд Тейлора с
точностью до членов четвертого порядка
по
получим
,
где
постоянная величина независящая от
,
а
элементарная
квадратура прямоугольников. Величина
называется главной частью погрешности
формулы прямоугольников. При этих же
предположениях, для формулы трапеций
справедливо соотношение
,
где
элементарная квадратура трапеций. Для
формулы Симпсона, при условии
имеет место равенство
.Т.е.
для любой квадратурной формулы можно
выписать соотношение
.
(1)
Тогда, выписывая
это соотношение на шаге
,
имеем
.
(2)
Вычитая из (1) равенство (2), получим
.
Отсюда
и, следовательно,
согласно (2) имеем с точностью до
,
(3)
и
известные величины,
причем величина погрешности
равна
.
Замечание На
практике подтверждением условия
является выполнение неравенства
.
(4)
Неравенство (4)
может нарушаться последующим причинам:
а)
велико, при этом влияет отброшенный
член
;
б)
слишком мало, тогда могут сказаться
погрешности арифметики реальной ЭВМ;
в)
или близко к нулю.
Задачи для самостоятельного решения.
Используя равенство
найти с помощью
численного интегрирования приближения
к числу
.
Использовать формулу прямоугольников
и формулу трапеций с элементарными
отрезками одинаковой длины
,
взяв
.
Для данных
результат записать со всеми верными
цифрами.
Для интеграла
построить таблицу
значений, с точностью
,
допускающую линейную интерполяцию.Используя определение интеграла Римана и теорему о среднем значении интеграла, доказать, что приближения, получаемые из квадратур прямоугольников и трапеций, сходятся при
к интегралу. Выделите отчетливо те
предположения, которые делаются
относительно подынтегральной функции.Какой результат будет получен квадратурой Симпсона, с точностью
,
для интеграла
?
Каков точный результат?Опишите эффективный и “точный” метод вычисления интеграла
,
где
.
Задания к лабораторной работе.
-
№
f(x)
a
b
1
1.7
3.3
10-8
2
40.0
43.6
10-8
3
2.6
5.0
10-8
4
2.6
16.8
10-8
5
1.5
3.1
10-8
6
1.8
3.4
10-8
7
0.7
1.5
10-8
8
7
15
10-8
9
0.20
0.56
10-8
10
2.2
7.0
10-8
11
1.50
2.22
10-8
12
0.5
1.7
10-8
13
1.5
3.1
10-8
14
2
6
10-8
15
2.0
5.2
10-8
16
1.5
3.1
10-8
17
1.5
3.1
10-8
18
2.0
6.0
10-8
№
f(x)
a
b
19
2
6
10-8
20
2.2
7.0
10-8
21
2.21
7.01
10-8
Квадратурами прямоугольников, трапеций и Симпсона вычислить интегралы с заданной точностью. Пояснить, почему получается такое число подинтервалов?
Построить таблицу значений интеграла
,
где
принимает десять значений из промежутка
,
допускающую линейную интерполяцию.
Результат должен быть представлен со
всеми верными цифрами.
Контрольные вопросы к лабораторной работе.