Задания к лабораторной работе.

Решить системы уравнений, с максимально возможной точностью, для данных одинарной точности :

.

Основная матрица системы порядка одинакова для всех вариантов и ее элементы равны .

Вектор правых частей, в каждом варианте получается расчетом значений функции , для , с шагом .

Порядок выполнения работы:

1. Составить и отладить процедуры, реализующие прямой ход метода Гаусса.

2. На основании полученных процедур составить подпрограмму расчета матрицы, приводящей матрицу к верхнему треугольному виду.

3. Составить и отладить подпрограмму расчета числа обусловленности матрицы и провести расчет.

4. Выполнить обратный ход метода Гаусса.

5. Провести расчет невязки и уточнить полученное решение.

Приложение 1. Вычисление нормы матрицы согласованной с евклидовой нормой вектора.

Мы уже отмечали, что величина нормы матрицы и число обусловленности зависят от выбора типа нормы. Если для норм и их расчет производится по явным формулам достаточно просто, то вычисление числа обусловленности требует знания обратной матрицы⁹, что, вообще говоря, эквивалентно решению системы и поэтому простота расчета указанных норм не гарантирует простоту расчета числа обусловленности матрицы.

Для подсчета евклидовой нормы матрицы , с отличным то нуля определителем введем , заметим, что данная матрица является симметричной. Более того, для любого вектора

,

следовательно, матрица положительно определена. Это означает, что все ее собственных значений положительны, так что мы можем их обозначить через , причем можно положить

,

эти числа называют сингулярными числами матрицы . Из теории вещественных симметрических матриц следует, что можно найти ортогональную матрицу , такую, что

,

где - диагональная матрица с элементами . Теперь определим матрицу как

.

Тогда , так что матрица является диагональной. Более того, последнее равенство показывает, что различные строки матрицы ортогональны друг другу . Построим ортонормированную систему вектор-строк , для . Пусть - матрица строками которой являются вектора

,

тогда и следовательно . Тем самым доказана:

Теорема. Для любой невырожденной матрицы существуют две вещественные ортогональные матрицы и , такие, что диагональная матрица . Более того, можно выбрать и так, чтобы диагональные элементы имели вид:

.

Из этой теоремы следует, что и норма , следовательно . Т.е., для вычисления числа обусловленности матрицы достаточно найти максимальное и минимальное собственные значения матрицы и окончательно . Укажем итерационный алгоритм, принадлежащий Л. А. Люстернику, который позволяет найти наибольшее собственное значение симметричной положительно определенной матрицы . Рассмотрим итерационный процесс

, причем - произвольный ненулевой вектор. Покажем, что

.

Для этого представим в виде разложения по полной системе собственных векторов матрицы ,

.

После -той итерации будем иметь:

.

Перепишем последнее равенство в виде:

,

где в первой сумме выписаны собственные векторы, принадлежащие собственному значению . На основании этого равенства имеем

.

Переходя к пределу, при получим:

.

Переходя в этом соотношении к норме, получим искомый результат:

. (1)

Минимальное собственное значение матрицы можно получить, если найти максимальное собственное значение матрицы , которое связано с соотношением

.

Замечание. При реализации итерационного процесса основанного на формуле (1), для сокращения числа арифметических операций дробь в правой части формулы можно вычислять не для всех значений , а с некоторым разумным интервалом, например через каждые десять шагов итерации.