5.3 Итерационное уточнение решения линейной системы.

Несмотря на то, что ошибки округления, как правило, невелики, иногда возникает необходимость получить решение с более высокой точностью. Ключом для улучшения точности первого решения является вычисление с двойной точностью его невязки . Зная , мы затем решаем систему

.

Если мы знаем точно, то будет точным решением системы, потому что

.

Если мы не знаем точно, то можно вычислить и продолжить процесс уточнения решения: зная , мы затем решаем систему

.

Заметим, что каждая система имеет ту же матрицу и поэтому прямой ход метода Гаусса можно выполнить лишь один раз, если мы представим его в виде умножения на некоторую матрицу . Если не производить выбор ведущего элемента, то

.

Как нетрудно видеть перестановку -той и -той строк можно свести к умножению на матрицу у которой по диагонали, за исключением этих строк, стоят единицы, а в -той строке на -том месте стоит единица и в -той строке на -том месте стоит единица, другие элементы этой матрицы равны нулю. С учетом этого обстоятельства матрицу можно записать в виде:

.

Исключительно важно, чтобы вычисление невязок выполнялось с более высокой точностью, чем остальные операции. Это основной принцип для любых способов решения уравнения: вычисление невязки является критической операцией, и должно выполнятся точнее других операций.

Детальный анализ ошибок округления дан в предыдущем параграфе, сходимость процесса итерационного уточнения решения мы рассмотрим чуть позже, а сейчас дадим некоторое правдоподобное представление о природе алгоритма. В частности, мы покажем, что величина приближенно определяет быстроту сходимости к своему предельному вектору. Обратно, последовательность может быть использована для оценки величины .

Замечание. Ошибка решения системы связана с простым соотношением , таким образом

.

По результатам предыдущего параграфа имеем

.

Используя предыдущее равенство и замечание, имеем:

.

Следовательно, при

.

Если , то можно положить , в другом случае

,

т. е. у приблизительно первых разрядов верны, а остальные в пределах погрешности.

После вычисления , мы можем предположить, что невязка имеет - верных разрядов. Когда мы решаем систему уравнений для , то получим еще - верных разрядов. Следовательно, имеет верных разрядов.

Задачи для самостоятельного решения.

№1.

Доказать, имеет место неравенство .

№2.

Доказать, что имеют место равенства:

а) ,

б) ,

где нормы матриц согласованы с соответствующими нормами векторов.

№3.

Пусть и имеют следующий вид:

, .

Собственные значения матрицы приближенно равны 0.0558, 0.2007, 84.74.

а) Описать множество , т.е. образ единичной сферы при преобразовании .

б) Найти , , .

в) Рассмотрим систему уравнений . Предположим, что мы имеем векторы и , относительно которых известно только, что

.

1) Какова наименьшая верхняя граница для абсолютной ошибки .

2) Какова наименьшая верхняя граница для относительной ошибки .

№4.

Пусть

.

Доказать, что данная матрица имеет наибольшее число обусловленности ⁸ из всех невырожденных матриц второго порядка, элементами которых являются положительные числа меньшие или равные 100.

№ 5.

Пусть симметричная положительно определенная матрица. Доказать, что есть монотонно убывающая функция , при .

№ 6.

Найти евклидову норму диагональной матрицы.

№ 7.

Найти евклидову норму ортогональной матрицы.

№ 8.

Показать, что на основании следующего алгоритма можно получить оценку числа обусловленности матрицы, по норме, согласованной с векторной . Для расчета , находят вектора и , для этого решаются две системы уравнений

,

,

где - вектор с компонентами , выбираемый так, чтобы максимизировать в процессе обратной подстановки для , причем .