Дискретные случайные величины.
Дискретная случайная величина Х задана законом распределения, представленным в таблице:
xi |
-2 |
-1 |
0 |
2 |
3 |
pi |
c/8 |
c2/16 |
3c/32 |
c2/16 |
c/32 |
1.Найти константу с. Ответ обосновать.
2.Найти математическое ожидание случайной величины Х.
3.Найти дисперсию случайной величины Х.
4.Построить график функции распределения случайной величины Х.
5.Найти вероятность Р{-1 X 2}.
Непрерывные случайные величины.
Плотность распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид:
1.Найти константу с.
2.Найти математическое ожидание случайной величины Х.
3.Найти дисперсию случайной величины Х.
4.Построить графики плотности распределения и функции распределения случайной величины Х.
5. Найти P{X>0}, P{-1,5<X<3}.
Многомерные случайные величины.
Найти функцию распределения случайной величины Z=2X+Y, где X-дискретная случайная величина, принимающая два значения: 1 с вероятностью 0,6 и -1 c вероятностью 0,4, а Y имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1; X и Y- независимы. Вычислить вероятность Р(Z<0).
Указание: воспользоваться формулой полной вероятности.
Непрерывная двумерная случайная величина (X,Y) равномерно распределена внутри прямоугольного треугольника с вершинами (-2;-2), (3;-2), (3;2). Найти двумерную плотность совместного распределения и плотности распределения случайных величин X и Y. Вычислить коэффициент корреляции.
Предельные теоремы теории вероятностей.
На факультете обучается 500 студентов. Какова вероятность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно для 3 студентов данного факультета?
Игральный кубик подбрасывают 800 раз. Какова вероятноть того, что число очков, кратное трем, выпадет не меньше 260 и не больше 274 раз?
Дискретная случайная величина Х задана законом распределения
Х 0,1 0,4 0,6
p 0,2 0,3 0,5
Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что Х-МХ<0,4.
Математическая статистика.
По данному распределению выборки построить эмпирическую функцию распределения, гистограмму и полигон:
xi |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
ni |
20 |
10 |
35 |
5 |
10 |
20 |
Найти точечную оценку параметра p биномиального распределения (схема Бернулли) по выборке (1,1,0,0,1,0,0,1,0,1,0,1), где Х принимает значения: 1 с вероятностью р и 0 с вероятностью 1-р: а) методом моментов и б) методом максимального правдоподобия.
Найти доверительный интервал надежности 1-α=0,9 для неизвестного математического ожидания при неизвестной дисперсии по выборке:
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
X |
4,781 |
4,795 |
4,769 |
4,792 |
4,779 |
Распределение нормальное. Какова точность этого интервала? Как изменится точность, если дисперсия известна и равна 0,0004?
Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза об экспоненциальном распределении генеральной совокупности с результатами наблюдений, представленными в таблице:
X |
0,1 |
0,3 |
0,5 |
1 |
1,5 |
1,8 |
2,5 |
3,5 |
5 |
7 |
n |
14 |
22 |
30 |
20 |
18 |
20 |
24 |
28 |
16 |
8 |