Вариант 4. Операции над событиями.

1. Проводится наблюдение за группой, состоящей из 4 однородных объектов. Каждый из них во время наблюдения может быть обнаружен и не обнаружен. Событие А – обнаружен ровно один из наблюдаемых объектов, событие В – обнаружен хотя бы один объект. Что означают события: АВ, , , А+В?

2. Рабочий изготовил 5 деталей. Пусть событие А_i, i=1,…,5, заключается в том, что i–ая изготовленная им деталь имеет дефект. Записать событие, состоящее в том, что только третья и четвертая детали имеют дефект.

Классическое определение вероятности.

3. Из партии, в которой 38 деталей без дефектов и 6 с дефектами, берут наудачу 4 детали. Найти вероятность того, что 2 детали с дефектами, а 2 – без дефектов.

4. Игральная кость бросается 2 раза. Найти вероятность того, что сумма очков заключена в интервале от 7 до 9 очков, включая эти значения.

Формула сложения и умножения вероятностей. Формула полной вероятности.

Схема Бернулли.

5. Рабочий обслуживает 2 станка. В течение часа первый станок не требует внимания с вероятность 0,9, второй – 0,8. Станки работают независимо друг от друга. Найти вероятность того, что в течение часа хотя бы один станок потребует внимания.

6. Прибор может работать в двух режимах – нормальном и нагруженном. Нормальный режим наблюдается в 80% случаев, нагруженный – в 20%. Вероятность выхода из строя прибора в нормальном режиме равна 0,1, в нагруженном – 0,7. Найти вероятность выхода прибора из строя.

7. Для стрелка вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,9. Произведено 10 выстрелов. Найти вероятность того, что будет не менее 9 попаданий.

Дискретные случайные величины.

8. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения, представленным в таблице:

xi	-5	-3	-1	1	3
pi	0,1 c2	0,2c2	0,2c	0,1	0,4c

1.Найти константу с. Ответ обосновать.

2.Найти математическое ожидание случайной величины Х.

3.Найти дисперсию случайной величины Х.

4.Построить график функции распределения случайной величины Х.

5.Найти вероятность Р{-5  X  4}.

Непрерывные случайные величины.

9. Плотность распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид:

1.Найти константу с.

2.Найти математическое ожидание случайной величины Х.

3.Найти дисперсию случайной величины Х.

4.Построить графики плотности распределения и функции распределения случайной величины Х.

5. Найти P{X>0}, P{-1<X<2,5}.

Многомерные случайные величины.

10. Найти функцию распределения случайной величины Z=2X+Y, где X-дискретная случайная величина, принимающая два значения: 1 с вероятностью 0,4 и -1 c вероятностью 0,6, а Y имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1; X и Y- независимы. Вычислить вероятность Р(Z<0).

Указание: воспользоваться формулой полной вероятности.

11. Непрерывная двумерная случайная величина (X,Y) равномерно распределена внутри прямоугольного треугольника с вершинами (-3;0), (0;4), (0;0). Найти двумерную плотность совместного распределения и плотности распределения случайных величин X и Y. Вычислить коэффициент корреляции.

Предельные теоремы теории вероятностей.

12. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение минуты равна 0,002. Найти вероятность того, что в течение минуты обрыв произойдет на 3 веретенах.

13. Обследуются 500 изделий, изготовленных на предприятии, где брак составляет 2%. Найти вероятность того, что число бракованных изделий лежит в пределах от 10 до 20.

14. В осветительную сеть параллельно включено 20 ламп. Вероятность того, что за время Т лампа будет включена, равна 0,8. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом включенных ламп и средним числом (математическим ожиданием) включенных ламп за время Т окажется меньше трех.