Дискретные случайные величины.
Дискретная случайная величина Х задана законом распределения, представленным в таблице:
xi |
-3 |
-2 |
0 |
1 |
3 |
pi |
0,05c |
0,3 |
0,1 c2 |
0,1 |
0,05c |
1.Найти константу с. Ответ обосновать.
2.Найти математическое ожидание случайной величины Х.
3.Найти дисперсию случайной величины Х.
4.Построить график функции распределения случайной величины Х.
5.Найти вероятность Р{-2 X 2}.
Непрерывные случайные величины.
Плотность распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид:
1.Найти константу с.
2.Найти математическое ожидание случайной величины Х.
3.Найти дисперсию случайной величины Х.
4.Построить графики плотности распределения и функции распределения случайной величины Х.
5. Найти P{X>0}, P{-1,5<X<1}.
Многомерные случайные величины.
Найти функцию распределения случайной величины Z=2X+Y, где X-дискретная случайная величина, принимающая два значения: 1 с вероятностью 0,2 и -1 c вероятностью 0,8, а Y имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1; X и Y- независимы. Вычислить вероятность Р(Z<0).
Указание: воспользоваться формулой полной вероятности.
Непрерывная двумерная случайная величина (X,Y) равномерно распределена внутри прямоугольного треугольника с вершинами (-1;0), (-1;3), (5;0). Найти двумерную плотность совместного распределения и плотности распределения случайных величин X и Y. Вычислить коэффициент корреляции.
Предельные теоремы теории вероятностей.
Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0,01. Найти вероятность того, что среди 200 деталей окажется ровно 4 бракованных.
Производство дает 1% брака. Какова вероятность того, что из взятых на исследование 1100 изделий бракованных будет не более 17?
Устройство состоит из 10 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время Т равна 0,05. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом отказов за время Т меньше двух.
Математическая статистика.
По данному распределению выборки построить эмпирическую функцию распределения, гистограмму и полигон:
xi
1
2
3
4
5
6
ni
10
20
30
10
10
20
Найти точечную оценку параметра p биномиального распределения (схема Бернулли) по выборке (1,0,1,0,0,1,1,1,0,0), где Х принимает значения: 1 с вероятностью р и 0 с вероятностью 1-р: а) методом моментов и б) методом максимального правдоподобия.
Найти доверительный интервал надежности 1-α=0,9 для неизвестного математического ожидания при неизвестной дисперсии по выборке:
X |
114 |
115 |
116 |
117 |
118 |
n |
2 |
5 |
8 |
4 |
3 |
Распределение нормальное. Какова точность этого интервала? Как изменится точность, если дисперсия известна и равна 31,28?
Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза об экспоненциальном распределении генеральной совокупности с результатами наблюдений, представленными в таблице:
X |
0,1 |
0,2 |
0,4 |
0,7 |
0,9 |
1,3 |
1,5 |
1,7 |
1,9 |
2,0 |
2,4 |
n |
10 |
2 |
3 |
20 |
23 |
21 |
10 |
6 |
2 |
2 |
1 |
Вариант 3.
Операции над событиями.
Из таблицы случайных чисел наудачу взято число. Событие А – взятое число делится на 5, событие В – число оканчивается нулем. Что означают события: АВ, , , А+В?
Рабочий изготовил 5 деталей. Пусть событие Аi, i=1,…,5, заключается в том, что i–ая изготовленная им деталь имеет дефект. Записать событие, состоящее в том, что хотя бы одна деталь имеет дефект.
Классическое определение вероятности.
На складе имеется 15 телевизоров, причем 10 из них фирмы А и 5 – фирмы В. Найти вероятность того, что среди наудачу взятых трех телевизоров 2 фирмы А и 1 фирмы В.
Игральная кость бросается 2 раза. Найти вероятность того, что сумма очков – четное число.
Формула сложения и умножения вероятностей.
Формула полной вероятности.
Схема Бернулли.
Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания при одном выстреле первого стрелка равно 0,7, второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадет хотя бы один стрелок.
Электролампы изготавливают на трех заводах. Первый завод производит 45% продукции, второй – 40%, третий – 15%. Продукция первого завода содержит 70% стандартных ламп, второго – 80%, третьего – 81%. В магазин поступает продукция всех трех заводов. Найти вероятность того, что купленная в магазине лампа окажется стандартной.
Монету бросают 4 раза. Найти вероятность того, что герб выпадет более 1 раза.