Вариант 1.

Операции над событиями.

1. Из таблицы случайных чисел наудачу взято число. Событие А – взятое число четное, событие В – число оканчивается нулем. Что означают события: АВ, , , А+В?

2. Рабочий изготовил 5 деталей. Пусть событие А_i, i=1,…,5, заключается в том, что i–ая изготовленная им деталь имеет дефект. Записать событие, состоящее в том, что все детали хорошие.

Классическое определение вероятности.

3. Из 15 билетов выигрышными являются 3. Определить вероятность того, что среди наудачу взятых 5 билетов 2 выигрышных.

4. Игральная кость бросается 2 раза. Найти вероятность того, что сумма очков не менее 10.

Формула сложения и умножения вероятностей.

Формула полной вероятности.

Схема Бернулли

5. По каналу связи передаются независимо два сообщения. Вероятность передачи без искажений первого сообщения равна 0,95, второго – 0,92. Найти вероятность того, что хотя бы одно из сообщений будет искажено.

6. В спортивной секции 80% студентов младших курсов и 20% старшекурсников. Среди спортсменов младших курсов разрядники составляют 20%, а среди старшекурсников – 90%. Найти вероятность того, что наудачу выбранный спортсмен окажется разрядником.

7. Чему равна вероятность выигрыша у равносильного соперника не менее 4 партий из 8?

Дискретные случайные величины.

8. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения, представленным в таблице:

xi	-2	-1	1	2	4
pi	5/16	c2	3/8	c/16	c/16

1.Найти константу с. Ответ обосновать.

2.Найти математическое ожидание случайной величины Х.

3.Найти дисперсию случайной величины Х.

4.Построить график функции распределения случайной величины Х.

5.Найти вероятность Р{-1  X  4}.

Непрерывные случайные величины.

9. Плотность распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид:

1.Найти константу с.

2.Найти математическое ожидание случайной величины Х.

3.Найти дисперсию случайной величины Х.

4.Построить графики плотности распределения и функции распределения случайной величины Х.

5. Найти P{X>0}, P{-2<X<1,5}.

Многомерные случайные величины.

10. Найти функцию распределения случайной величины Z=2X+Y, где X-дискретная случайная величина, принимающая два значения: 1 с вероятностью 0,7 и -1 c вероятностью 0,3, а Y имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1; X и Y- независимы. Вычислить вероятность Р(Z<0).

Указание: воспользоваться формулой полной вероятности.

11. Непрерывная двумерная случайная величина (X,Y) равномерно распределена внутри прямоугольного треугольника с вершинами (-2;-1), (4;-1), (-2;1). Найти двумерную плотность совместного распределения и плотности распределения случайных величин X и Y. Вычислить коэффициент корреляции.

Предельные теоремы теории вероятностей.

12. Учебник издан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит ровно 5 бракованных книг.

13. Всхожесть семян данного растения равна 0,9.Найти вероятность того, что из 900 посаженных семян число проросших заключено между 790 и 830.

14. Устройство состоит из 10 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время Т равна 0,05. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом отказов за время Т не меньше двух.

Математическая статистика.

15. По данному распределению выборки построить эмпирическую функцию распределения, гистограмму и полигон:

xi	1	2	3	4	5	6
ni	15	25	10	20	10	20

16. Найти точечную оценку параметра p биномиального распределения (схема Бернулли) по выборке (0,0,1,0,0,1,1,0,0,0,1,0), где Х принимает значения: 1 с вероятностью р и 0 с вероятностью 1-р: а) методом моментов и б) методом максимального правдоподобия.

17. Найти доверительный интервал надежности 1-α=0,95 для неизвестного математического ожидания при неизвестной дисперсии по выборке Х =0,464, Х =0,137, Х =2,455, Х =-0,323. Распределение нормальное. Какова точность этого интервала? Как изменится точность, если дисперсия известна и равна 1,5?

18. Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0,05 проверить, согласуется ли гипотеза об экспоненциальном распределении генеральной совокупности с результатами наблюдений, представленными в таблице:

X	0,1	0,3	0,5	0,7	0,9	1,3	1,5	1,7	1,9	2,4	2,9	3,8
n	22	12	10	11	12	10	2	1	7	5	3	5

Вариант 2.

Операции над событиями.

1. Событие А – хотя бы одно из имеющихся изделий - бракованное , событие В – бракованных изделий не менее двух. Что означают события: АВ, , , А+В?

2. Рабочий изготовил 5 деталей. Пусть событие А_i, i=1,…,5, заключается в том, что i–ая изготовленная им деталь имеет дефект. Записать событие, состоящее в том, что только третья деталь имеет дефект.

Классическое определение вероятности.

3. На полке стоят 6 книг в красном переплете и 4 книги в зеленом переплете. Наугад взято 7 книг. Найти вероятность того, что среди взятых книг 4 в красном переплете и 3 в зеленом.

4. Игральная кость бросается 2 раза. Найти вероятность того, что сумма очков заключена в интервале от 5 до 7 очков, включая эти значения.

Формула сложения и умножения вероятностей.

Формула полной вероятности.

Схема Бернулли.

5. Прибор проверяется контролером по двум независимым параметрам. Вероятность того, что прибор будет забракован по первому параметру, равно 0,1, а по второму – 0,15. Определить вероятность того, что прибор будет забракован хотя бы по одному параметру.

6. В вузе обучаются 70% юношей и 30% девушек. Среди юношей курят 20%, среди девушек – 5%. Найти вероятность того, что наудачу выбранный студент не курит.

7. Вероятность изготовления детали отличного качества равна 0,9. Какова вероятность того, что среди 10 деталей изготовленных деталей не менее 9 отличного качества.