1.2. Закони комутації й початкові умови

Перехідні процеси в загальному випадку виникають при зміні схеми ланцюга чи його параметрів. Ці зміни прийнята називати комутацією. Можна припустити, що комутація відбувається миттєво, але електромагнітний стан ланцюга, як відзначалося вище, не може змінитися стрибком. Пояснюється це тим, що енергія магнітного і електричного полів не може змінюватися миттєво. Дійсно, якщо допустити, що енергія магнітного чи електричного полів зміниться миттєво, тобто стрибком, то для цього буде потрібно джерело нескінченно великої потужності ( ), що фізично неможливо.

Неможливість стрибкоподібної зміни магнітних і електричних полів означає, що потокозчеплення елемента індуктивності  і заряд елемента ємності q також не можуть змінюватися стрибком. Справді, для ланцюгів з індуктивністю (рис. 1.1, а) на підставі другого закону Кірхгофа:

(1.2)

Якщо припустити, що  змінюється стрибком, то , що неможливо й суперечить другому закону Кірхгофа. Для ланцюга з ємністю (рис. 9.1, б за другим законом Кірхгофа:

(1.3)

Якщо допустити, що q змінюється стрибком, то , що позбавлено фізичного сенсу.

Звідси випливають загальні закони комутації: потокозчеплення елемента індуктивності й електричний заряд елемента ємності безупинні у часі.

Рис. 1.1. Схеми ланцюгів з індуктивністю і ємністю

Оскільки =L·i та , то в окремому випадку, коли L и С постійні, закони комутації можуть бути сформульовані в такий спосіб:

перший закон комутації: сила струму в елементі індуктивності перед комутацією та після неї залишається незмінною:

(1.4)

другий закон комутації: напруга на елементі ємності перед комутацією й після неї не змінюється:

(1.5)

Інші струми й напруги у ряді випадків можуть змінюватися стрибком, тому що це не вимагає нескінченно великої потужності джерела живлення.

Значення усіх величин у момент комутації t=0, що є початком нового режиму, називаються початковими. Якщо при t=0 і , то умови називаються нульовими початковими умовами. Якщо при t=0 і , то умови називаються ненульовими початковими умовами. Початкові умови характеризують запас енергії магнітних і електричних полів у момент комутації. При розрахунку перехідних процесів початкові умови повинні бути відомі.

1.3. Перехідні процеси у лінійному ланцюзі з індуктивністю

У реальних умовах будь-який електричний ланцюг, що містить елемент індуктивності, має й елемент активного опору. Розглянемо перехідні процеси при вмиканні такого ланцюга під постійну й синусоїдальну напругу, а також перехідні процеси при замиканні її накоротко.

Вмикання ланцюга з елементами R і L під постійну напругу. При вмиканні ланцюга з R i L (рис. 1.2, а) під постійну напругу і відповідно до другого закону Кірхгофа можна записати:

(1.6)

Вирішуючи це рівняння щодо сили струму, знайдемо:

(1.7)

де – стала сила струму; – електромагнітна постійна часу ланцюга; вона характеризує загасання вільного процесу у ланцюзі й виміряється у секундах (с).

Розділяючи перемінні рівняння (1.7), одержимо , або . Інтегруючи останнє й потім зробивши потенціювання, відповідно знайдемо:

(1.8)

Постійну інтегрування А знаходимо з початкових умов: і, отже, при , відкіля А=1. Підставляючи значення А в рівняння (1.8) і, вирішуючи його щодо сили струму, одержимо:

(1.9)

де – сила вільного струму.

Рис. 1.2. Вмикання ланцюга з елементами R, L під постійну напругу:

а — схема ланцюга; б — криві струму й напруги

Напруга на індуктивності, що врівноважує ЕРС самоіндукції, визначається рівнянням:

(1.10)

На рис. 1.2, б представлені криві i=f(t) і u_L=f(t) побудовані на підставі рівнянь (1.9) і (1.10). Вони показують характер зміни електричних величин у ланцюзі з індуктивністю.

Теоретично сила струму в ланцюзі з індуктивністю при її включень під постійну напругу досягає сталого значення при t=∞. Дійсно, у цьому випадку . Однак прийнято вважати, що перехідний процес практично закінчується за час , коли i=0,99·I. Таким чином, практична тривалість перехідного процесу визначається постійною часу ланцюга , яку можна знайти як розрахунковим шляхом ( = L/R), так і графічно. Для графічного визначення треба провести дотичну до кривої сили струму в початковій точці t=0 (див. рис. 1.2, б). Дотична на лінії i_с=I відтинає відрізок АВ, рівний постійній .

Напруга на індуктивності у момент включення змінюється стрибком від нуля до значення прикладеної напруги u_L=U. Пояснюється це тим, що в момент вмикання напруги сила струму і, а отже, і спадання напруги на опорі R дорівнюють нулю. У результаті прикладена напруга цілком врівноважується ЕРС, що виникає в елементі індуктивності.

а) б)

Рис. 1.3. Коротке замикання ланцюга з елементами R, L:

а -схема ланцюга; б — криві струму й напруги

Замикання ланцюга з елементами R і L накоротко. Якщо ланцюг із R і L, по якому проходить струм (рис. 1.3, а), замкнути накоротко, то струм у ньому відразу не зникне, а внаслідок протидії ЕРС самоіндукції буде зменшуватися поступово. При цьому рівняння електричної рівноваги матиме вид:

звідси отримаємо:

Інтегруючи останнє рівняння й виконавши потенціювання результату, знайдемо:

Постійну інтегрування А знаходять із початкових умов . Отже, сила струму перехідного процесу при замиканні ланцюга накоротко буде дорівнювати:

(1.11)

Напруга и_L визначиться за рівнянням:

На рис. 1.3, б зображені криві зміни сили струму й напруги.

Енергетичні процеси в ланцюзі з елементами R і L. З енергетичної точки зору перехідні процеси в ланцюзі з R і L відбуваються за рахунок перетворення енергії системи. Дійсно, при включенні ланцюга струм, проходячи по елементу опору R, нагріває його, а проходячи по елементу індуктивності L, створює магнітне поле, у якому накопичується енергія. Обидва види енергії отримуються за рахунок перетворення енергії джерела живлення. Справді, звертаючись до рівняння електричної рівноваги ланцюга (1.6) і множачи обидві його частини на i·dt , одержимо:

(1.12)

де U·I·dt — енергія, що витрачається джерелом живлення; i²·R·dt — енергія, що перетворена у теплоту; L·I·di — енергія, що накопичується у магнітному полі.

а) б) в)

Рис. 1.4. Вмикання ланцюга з елементами R, С під синусоїдальну напругу:

а – схема ланцюга; б – криві струму; в – криві напруги

Очевидно, енергія, що накопичується в магнітному полі при наростанні сили струму від нуля до /, тобто за час перехідного процесу, буде дорівнює:

При короткому замиканні ланцюга з індуктивністю енергія, що накопичується в магнітному полі, поступово перетвориться в теплоту, тобто:

(1.13)

Таким чином, перехідні процеси при короткому замиканні ланцюга з індуктивністю відбуваються за рахунок енергії магнітного поля.

Вмикання ланцюга з елементами R і L під синусоїдальну напругу. При включенні ланцюга з R і C (рис. 1.4, а) під синусоїдальну напругу рівняння електричної рівноваги для миттєвих значень має вид:

(1.14)

Сила струму перехідного процесу являє собою суму сталої й вільної складових. Ці складові сили струму відповідно дорівнюють:

де – повний опір ланцюга; – кут зрушення струму щодо напруги.

Отже, сила струму перехідного процесу в ланцюзі буде змінюватися за формулою:

Постійна інтегрування А знаходиться з початкових умов:

звідси:

Таким чином, закон зміни сили струму виразиться формулою:

(1.15)

Звідси видно, що під час перехідного процесу на синусоїдальний сталий струм I_c накладається вільний струм I_в, абсолютна величина якого зменшується за показовим законом.

На рис. 1.4, б приведені криві зміни сили струму, побудовані по рівнянню (1.15). Ці криві показують, що струм I, маючи на початку процесу несинусоїдальний характер, прагне до сталого синусоїдального струму. Тривалість процесу визначається постійної часу τ. Практично через t=4,6 перехідної струм досягає сталого синусоїдального значення.

Напруга на індуктивності и_ъ визначається виразом:

тобто дорівнює сумі (рис. 9.4, в) сталої синусоїдальної і вільної аперіодичних напруг.

Варто мати на увазі, що сила струму при включенні ланцюга з R i L під синусоїдальну напругу залежить не тільки від амплітуди напруги на затисках ланцюга, але й від моменту включення [див. формулу (9.15)]. Найбільше сприятливо протікає перехідний процес, коли в момент включення і=0, що може бути при чи . У цьому випадку, як видно з виразу:

перехідного процесу в ланцюзі не буде й у ньому у момент вмикання настає сталий режим роботи.

Найменш сприятливо перехідний процес протікає у розглянутому ланцюзі, якщо у момент вмикання , що може бути за умови . У цьому випадку, якщо R = 0, то через напівперіод після включення ланцюга сила струму в ньому досягне значення:

Оскільки у ланцюзі завжди мається визначений активний опір, який сприяє загасанню вільної складової струму, то сила перехідного струму практично ніколи не досягне подвійного значення.

При замиканні ланцюга накоротко закон зміни електричних величин не залежить від того, під яку напругу був включений ланцюг, і визначається рівнянням (1.11), а кількісна сторона перехідного процесу в цьому випадку визначається силою струму у ланцюзі у момент його замикання.