III уровень
3.1. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
3.2. Упростите выражение:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
5.2. Степень с произвольным действительным
показателем
Во множестве R определена степень ax с действительным показателем.
В выражении ax число а называют основанием степени, число x – показателем степени. Нахождение значения степени называют возведением в степень.
Степень с действительным показателем
Пусть a R, тогда:
1)
n
N;
2)
3)
4)
и a
0, если
5)
и если
то a
0;
6)
и если
7)
где
определяется следующим образом.
Пусть иррациональное
число k
записано в виде десятичной дроби,
– последовательность его десятичных
приближений с недостатком (или с
избытком). Для любого действительного
числа а
0 степень
с иррациональным показателем определяется
равенством
На множестве R
не определены отрицательная и нулевая
степень числа 0, а также
если
Свойства степеней
Допустим, что a, b, c R и это такие числа, что все степени имеют смысл. Тогда:
1)
2)
3)
4)
5)
6) если a
> 1 и x
< y,
то
если 0 < a
< 1 и x
< y,
то
7) если 0 <
a
< b
и x
>0, то
если 0 < a
< b
и x
< 0, то
Пример 1.
Вычислить
Решение. Используем свойства степеней
Пришли к ответу:
Задания
I уровень
1.1. Представьте выражение в виде степени с рациональным показателем:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
1.2. Выполните действия:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
1.3.
Найдите
из уравнения:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
1.4. Упростите выражение
II уровень
2.1. Вычислите:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
2.2. Упростите выражение:
1)
2)
3)
III уровень
3.1. Вычислите:
1)
2)
3)
4)
5)
3.2. Найдите значение выражения:
1)
при
2)
5.3. Степенная функция
Функция
где х
– переменная величина,
– заданное число, называется степенной
функцией.
Если
то
– линейная функция, ее график – прямая
линия (см. параграф 4.3, рис. 4.7).
Если
то
– квадратичная функция, ее график –
парабола (см. параграф 4.3, рис. 4.8).
Если
то
ее график – кубическая парабола (см.
параграф 4.3, рис. 4.9).
Степенная функция
Это обратная
функция для
Область определения:
Множество значений:
Четность и нечетность: функция нечетная.
Периодичность функции: непериодическая.
Нули функции: x = 0 – единственный нуль.
Наибольшее и наименьшее значения функции: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.
Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на всей области определения.
График функции симметричен графику кубической параболы относительно прямой y = x и изображен на рис. 5.1.
Рис. 5.1
Степенная функция
Область определения:
Множество значений:
Четность и нечетность: функция четная.
Периодичность функции: непериодическая.
Нули функции: единственный нуль x = 0.
Наибольшее и наименьшее значения функции: принимает наименьшее значение для x = 0, оно равно 0.
Промежутки возрастания и убывания: функция является убывающей на промежутке
и возрастающей на промежутке
График функции (для каждого n N) «похож» на график квадратичной параболы (графики функций
изображены на рис. 5.2).
Рис. 5.2
Степенная функция
Область определения:
Множество значений:
Четность и нечетность: функция нечетная.
Периодичность функции: непериодическая.
Нули функции: x = 0 – единственный нуль.
Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет при любом
Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на всей области определения.
График функции (для каждого
)
«похож» на график кубической параболы
(графики функций
изображены на рис. 5.3).
Рис. 5.3
Степенная функция
Область определения:
Множество значений:
Четность и нечетность: функция нечетная.
Периодичность функции: непериодическая.
Нули функции: нулей не имеет.
Наибольшее и наименьшее значения функции: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет при любом
Промежутки возрастания и убывания: функция является убывающей в области определения.
Асимптоты:
(ось Оу)
– вертикальная асимптота;
(ось Ох)
– горизонтальная асимптота.
График функции (для любого n) «похож» на график гиперболы (графики функций
изображены на рис. 5.4).
Рис. 5.4
Степенная функция
Область определения:
Множество значений:
Четность и нечетность: функция четная.
Периодичность функции: непериодическая.
Наибольшее и наименьшее значения функции: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет при любом
Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на
и убывающей на
Асимптоты: x = 0 (ось Оу) – вертикальная асимптота;
y = 0 (ось Ох) – горизонтальная асимптота.
Графиками функций являются квадратичные гиперболы (рис. 5.5).
Рис. 5.5
Степенная функция
Область определения:
Множество значений:
Четность и нечетность: функция не обладает свойством четности и нечетности.
Периодичность функции: непериодическая.
Нули функции: x = 0 – единственный нуль.
Наибольшее и наименьшее значения функции: наименьшее значение, равное 0, функция принимает в точке x = 0; наибольшего значения не имеет.
Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на всей области определения.
Каждая такая функция при определенном показателе является обратной для функции
при условии
График функции «похож» на график функции
при любом n
и изображен на рис. 5.6.
Рис. 5.6
Степенная функция
Область определения:
Множество значений:
Четность и нечетность: функция нечетная.
Периодичность функции: непериодическая.
Нули функции: x = 0 – единственный нуль.
Наибольшее и наименьшее значения функции: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет при любом
Промежутки возрастания и убывания: функция является возрастающей на всей области определения.
График функции изображен на рис. 5.7.
Рис. 5.7
Пример 1. Построить график функции:
1)
2)
Решение. 1) Для построения графика данной функции используем правила преобразования графиков:
строим график функции
(он показан на рис. 5.7);график функции
получаем из графика функции
путем параллельного переноса его на
одну единицу вправо по оси Ох
и на две единицы вниз по оси Оу;график исходной функции получаем из графика функции
оставляем ту часть графика, которая
находится справа от оси Оу
и на оси Оу,
другую – отбрасываем (на рис. 5.8 она
показана пунктиром). Оставшуюся часть
графика дополняем симметричной ей
относительно оси Оу
(рис. 5.8).
Рис. 5.8
2) Преобразуем
функцию к виду
Заметим, что
График этой функции получаем путем
следующих преобразований:
строим график функции
график
получаем из предыдущего симметричным
отображением относительно оси Оу;график функции
получаем из предыдущего смещением на
4 единицы вправо по оси Ох;график заданной функции получаем из графика функции параллельным переносом его на две единицы вниз по оси Оу (рис. 5.9).
Рис. 5.9
Задания