I уровень
1.1. Решите уравнение:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
II уровень
2.1. Решите уравнение:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
III уровень
3.1. Решите уравнение:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
3.2. Найти количество натуральных корней уравнения
3.3. Решите уравнение:
если
3.4. Найдите все значения а, при
которых уравнение
имеет единственный корень.
3.5. Для каждого значения а найдите множество решений:
3.6. Определите, при каком значении а уравнение имеет ровно три решения:
1)
2)
3.4. Системы и совокупности уравнений
Пусть даны два уравнения с двумя
неизвестными
и
где
– некоторые выражения с переменными х
и у. Если ставится задача найти все
общие решения данных уравнений, то
говорят, что задана система уравнений:
(3.15)
Решить систему (3.15) – значит найти все
пары чисел
которые являются решением каждого
уравнения, или доказать, что таких пар
чисел не существует.
Аналогично определяется понятие системы с тремя и более неизвестными.
Системы, все уравнения которых однородные, называются однородными системами уравнений.
Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной, если таких решений не существует.
Две системы уравнений эквивалентны (равносильны), если они имеют одни и те же решения или обе не имеют решений.
Над уравнениями системы можно выполнять следующие действия, преобразующие данную систему в эквивалентную ей:
1) менять порядок следования уравнений;
2) умножать на число
любое уравнение;
3) умножать на число одно уравнение системы и прибавлять его к другому уравнению.
Несколько уравнений образуют совокупность уравнений
если ставится задача найти все те решения, которые удовлетворяют хотя бы одному уравнению совокупности и входят в область определения остальных уравнений.
Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет вид:
(3.16)
где
Геометрически каждому уравнению системы (3.16) соответствует прямая линия на плоскости:
и
Справедливы утверждения:
1) если
то система (3.16) имеет единственное
решение (геометрически – прямые
пересекаются в определенной точке);
2) если
то система (3.16) не имеет решений (прямые
параллельны);
3) если
то система (3.16) имеет бесконечно много
решений (прямые
и
– совпадают).
Основными методами решения систем уравнений (3.15) являются:
1) метод подстановки;
2) метод исключения неизвестной;
3) метод сложения;
4) метод умножения (деления) уравнений;
5) метод замены переменных;
6) графический метод.
Пример 1. Решить
систему
Решение. Решим
методом сложения. Для этого первое
уравнение системы умножим на
и прибавим ко второму:
откуда следует
Получаем
т. е.
Следовательно,
Заданная система сводится к решению совокупности систем:
Ее решением являются
пары чисел:
Пример 2. Решить
систему
Решение. ОДЗ:
Заменим в первом
уравнении системы
тогда
Получим дробно-рациональное уравнение:
Решаем его
Возвращаемся к переменным х, у:
– подходит по ОДЗ.
Получили ответ
Пример 3. Решить
систему
Решение. Данная
система относится к симметрическим
системам
(неизвестные
входят одинаково). Решение таких систем
производят стандартной заменой переменных
(3.17)
Далее используем метод сложения:
т. е.
Получаем корни этого квадратного уравнения:
С учетом системы (3.17) имеем:
Возвращаясь к переменным х, у, получаем:
Решим записанные системы отдельно:
1)
(3.18)
Возвращаясь к системе (3.18), получаем:
т. е. имеем два
решения
и
2)
(3.19)
Поскольку для последнего квадратного уравнения система (3.19) не имеет решения.
Получили ответ
Пример 4. Решить систему графически:
1)
(3.20)
2)
Решение. 1)
Исходя из геометрического смысла,
– уравнение окружности с центром
и радиусом
– прямая, параллельная оси Ох
и проходящая через точку
Построим эти линии (рис. 3.2).
Рис. 3.2
Графики имеют две точки пересечения, т. е. система имеет два решения, которые найдем из системы (3.20):
Получили ответ
2) Уравнение
может быть записано в виде
и является уравнением гиперболы .
Уравнение
может быть записано в виде
– это биссектриса II и IV координатных
углов.
В
ыполним
построение (рис. 3.3).
Рис. 3.3
Графики не имеют точек пересечения и, следовательно, система решений не имеет.
Пример 5. Решить
систему
Решение. Система содержит однородное уравнение.
Так как
получим:
Из второго уравнения найдем х:
Получаем совокупность двух систем:
Приходим к ответу
и
Задания