5. Квантование электромагнитного поля в вакууме

Рассмотрим классическое описание электромагнитного поля в вакууме. Пусть поле заключено в некоторую полость объемом V c идеально отражающей металлической поверхностью S, т.е. в некоторый резонатор. В этой модели на поверхности S будет выполняться условие

(5.1)

где - нормаль к внутренней стороне поверхности. Условие (5.1) означает, что тангенциальная составляющая напряженности электрического поля в точках поверхности равна нулю. Электромагнитное, в том числе и оптическое, поле в вакууме описывается уравнениями Максвелла вида:

(5.2)

которые путем повторного применения операции легко преобразуются в уравнения для каждого поля - электрического и магнитного - в отдельности

(5.3)

Ищем решения последних уравнений методом разделения переменных, полагая, что

(5.4)

где знак минус выбран для удобства в дальнейшем (см. ниже). Подставляя (5.4) в первое уравнение системы (5.3), получим

(5.5)

где . Величина ; в противном случае появляются нефизические решения, нарастающие со временем. Для магнитного поля используем аналогичную процедуру: ищем решение в виде произведения функций с разделяющимися переменными, т.е.

(5.6)

где выбор множителя в виде станет ясным из последующего изложения ( см. (5.13)). Подставляя (5.6) во второе уравнение системы (5.3), получим, что уравнения для нахождения и имеют вид, в точности совпадающий с (5.5), именно:

(5.7)

Если подставить (5.4) и (5.6) в исходные уравнения (5.2), то для функций от пространственных переменных получим уравнения

(5.8)

а для функций от времени

(5.9)

где точка сверху означает дифференцирование по времени. Уравнения (5.9) совпадают с уравнениями Гамильтона для классического гармонического осциллятора (2.5). Второе уравнение для в (5.5) и аналогичное для в (5.7) совпадают с классическими уравнениями (2.7). Далее следует отметить, что из первого уравнения (5.5) с учетом граничного условия (5.1) легко получить свойство ортогональности для функций , которое запишем в виде

(5.10)

Здесь под знаком интеграла стоит скалярное произведение векторов , которые таким образом выбираются нормированными на единицу. Аналогичное условие нормировки справедливо для .

Любое произвольное электромагнитное ( в том числе и оптическое ) поле в резонаторе можно представить в виде разложения по полной ортонормированной системе функций типа (5.4) и (5.6). Обычно граничные условия типа (5.1) или периодического типа ( см. далее ) выделяют некоторый набор дискретных значений волновых чисел . При определенном в резонаторе существует вполне определенная конфигурация электромагнитного поля, осциллирующая на определенной частоте . Это конкретное состояние электромагнитного поля в резонаторе называется модой поля. Таким образом, произвольное электромагнитное поле в резонаторе представляется в виде суммы по модам поля, а именно:

(5.11)

Множитель выбран из соображений, которые станут ясны из дальнейшего рассмотрения. Полная энергия поля в резонаторе

(5.12)

которая для полей (5.11) с учетом условия ортонормированности (5.10) принимает окончательный вид

(5.13)

что представляет собой сумму гамильтоновых функций гармонических осцилляторов типа (1.4). Произведенный выше выбор коэффициентов в (5.6) и в (5.11) обеспечивает получение (5.13).

Из вида (5.13) следует, что в классической физике электромагнитное поле в замкнутом пространстве можно рассматривать как дискретный ансамбль независимых гармонических осцилляторов.

Квантование электромагнитного поля в этом случае сводится к квантованию гармонических осцилляторов: в квантовой теории вместо классических динамических переменных и вводятся линейные эрмитовые операторы

и , которые удовлетворяют известному коммутационному соотношению

(5.14)

Аналогично тому, как это рассматривалось в предыдущих параграфах этой главы ( см. § 1.3 и § 1.4 ), вместо операторов координаты и импульса удобно ввести операторы рождения и уничтожения фотона -ой моды в соответствии с (3.20) формулами вида:

(5.15)

Гамильтониан электромагнитного поля в операторах и , соответствующий функции Гамильтона (5.13) принимает вид суммы гамильтонианов одномерных гармонических осцилляторов (3.24), а именно

(5.16)

где суммирование осуществляется по всем модам, или, иными словами, по всем фотонам. Дело в том, что при квантовании электромагнитного поля вместо оператора чисел заполнения вида (3.30), который характеризует номер энергетического уровня одномерного осциллятора, появляется оператор вида:

(5.17)

который называют оператором числа фотонов -ой моды, или просто оператором числа частиц, подразумевая под ними кванты электромагнитного поля - фотоны. Очевидно, что оператор полного числа частиц определяется суммой

(5.18)

где суммирование происходит по всем модам, т.е. по набору дискретных чисел . В общем случае, как это будет видно из дальнейшего, каждое состоит из волнового вектора фотона и одного из двух значений поляризации фотона . При непрерывных величинах компонент волнового вектора вместо суммирования в предыдущих и в последующих выражениях необходимо производить интегрирование, т.е. произвести замену

(5.19)

Операторы напряженностей электрического и магнитного полей и определяются выражениями (5.11), в которых динамические переменные и заменяются на эрмитовые операторы и . Выражая и через и из соотношений (5.15) и подставляя в (5.11) получаем операторы для каждой j-ой проекции полей в следующей форме:

(5.20)

где операторы рождения и уничтожения фотонов различных мод и проекций подчиняются коммутационному соотношению

(5.21)

которое является естественным обобщением соотношения (3.23).

Значение дискретных частот зависит от размеров полости и формы ограничивающей её поверхности конкретного резонатора. С увеличением объема резонатора интервалы значений между ближайшими частотами уменьшаются. Если интересоваться не значениями частот , а плотностью частот в некотором интервале, то для объемов, значительно превосходящих по своим линейным размерам характерные длины оптических волн, плотность частот не будет зависеть от формы поверхности резонатора.

Проведенный выше анализ относился, по существу, к случаю стоячих волн, так как мы имели дело с ограниченным объемом полости резонатора и молчаливо предполагали внутренний объем однородным, односвязанным, т.е. не содержащим включений, делающих его похожим на торообразные, кольцевые формы. В последнем случае возникнут моды бегущих волн. Кроме этого, при рассмотрении оптических полей в неограниченном пространстве более естественно и правильно представлять оптические поля в виде разложений по бегущим волнам ( т.е. интегралом Фурье). В этом случае принято поступать следующим образом. Мысленно выделяют в неограниченном пространстве конечный объем в виде куба, ребро которого длины много больше характерной длины волны оптического поля . Затем в качестве граничных условий берут условие периодичности поля на противоположных гранях куба, например . Этот прием позволяет получить дискретный ряд значений компонент волновых векторов бегущих волн. В конечных результатах необходимо длину ребра куба устремить в бесконечность ( ).

При таком подходе решение волновых уравнений (5.3) нужно искать не в виде стоячих волн (5.4), а в виде плоской монохроматической бегущей волны

(5.22)

где означает "комплексно-сопряженное", а и есть обозначение положительно- частотного и отрицательно-частотного слагаемого амплитуды поля. Эти слагаемые комплексно сопряжены друг с другом, т.е. . Из периодических граничных условий следует , что допустимые значения компонент волнового вектора равны

(5.23)

где - целые числа.

Операторы электромагнитного поля, выраженные через моды плоских бегущих волн, примут следующий вид (сравни с (5.20)):

(5.24)

(5.25)

Здесь последнее выражение (5.25) записано в гауссовой системе единиц (esu), а есть вектор поляризации фотона. Для поперечных волн он перпендикулярен волновому вектору . Система функций (5.25) ортогональная. Удобство выбора нормировочного множителя перед в том виде, как это сделано в (5.25) станет ясно из дальнейшего изложения (см. (5.32) и (5.33)). Оператор в (5.24) описывает ту часть оптического поля, которая содержит положительные частоты. Второе слагаемое в (5.24) содержит отрицательные частоты. Это полностью соответствует классическому описанию, когда реальное оптическое поле представляют в виде двух комплексно-сопряженных слагаемых, как это видно из формулы для плоской монохроматической волны (5.22). Операторы и представляют комплексные ( а не реальные ) поля. Тем не менее они гораздо более удобны при изучении квантовой оптики. Эти операторы являются эрмитовосопряженными друг относительно друга. Из определений, даваемых формулой (5.24), видно, что оператор описывает уничтожение (поглощение) фотона, а оператор - его рождение (испускание).

В ряде случаев в дальнейшем целесообразно представлять оптическое поле с помощью векторного потенциала. Например, в следующем виде:

, (5.26)

Для оператора векторного потенциала при рассматриваемом способе разложения справедлива формула

(5.27)

(5.28)

(последнее выражение записано в гауссовой системе единиц).

Из (5.26) (5.27) и (5.28)для магнитного поля получаем

, (5.29)

Матричные элементы операторов и даются выражениями (3.28), где заменяется на .

Итак, все полученные в предыдущем параграфе выводы легко обобщаются на электромагнитное поле как на ансамбль осцилляторов. В частности, в соответствии с определением (4.1) когерентное состояние оптического поля есть состояние, которое является собственной функцией ( вектором) оператора :

(5.30)

где

(5.31)

(5.32)

Из ранее полученных выражений (2.14) и (4.23) для легко получаем, что

(5.33)

и все результаты из § 1.4 целиком и полностью применимы к одной моде оптического поля.

Для больших чисел фотонов в одной моде ( ) собственное значение совпадает с классическим определением положительно-частотной амплитуды оптического поля. В этом предельном случае для каждой моды соотношение неопредленности для числа фотонов и фазы имеет минимально возможное значение, а именно из (4.46) имеем

(5.34)

Из (4.24) видно, что в рассматриваемом случае << , и, следовательно, с учетом этого из (5.34) получим: . Таким образом, в классическом пределе значению фазы и амплитуды оптического поля соответствуют достаточно определенные величины: точность их определения тем выше, чем больше число фотонов в каждой моде.