2. Примеры решения дифференциальных уравнений методом разделения переменных

1) Найти общее решение уравнения у′ – х² = 0.

Представим исходное уравнение в виде:

(1)

В полученном уравнении выполнено разделение переменных, состоящее в том, что искомая функция и ее дифференциал выносятся в одну часть уравнения, а аргумент и его дифференциал – в другую.

Для получения решения необходимо в уравнении (1) перейти от дифференциала dy к функции y. Поэтому произведем интегрирование его левой и правой части:

(2)

При нахождении неопределенных интегралов появляются произвольные постоянные С₁ и С₂. Их следует объединить в одну постоянную С. Окончательно:

(3)

Формула (3) есть общее решение дифференциального уравнения (1). Легко доказать, что функция (3) действительно решение уравнения (1), поскольку ее подстановка в уравнение (1) обращает последнее в тождество.

Произвольная постоянная С может быть определена, если наряду с исходным дифференциальным уравнением заданы некоторые добавочные сведения – их называют начальными условиями. Например: при х = 0 у = 3. Это начальное условия при подстановке его в общее решения (3) позволяет найти постоянную С :

3 = 0 + С  С = 3.

Тогда из общего решения для данного начального условия получим частное решение уравнения (1), не содержащее произвольной постоянной:

2) Найти частное решение уравнения

у′ (х + 2) – у = 0, если у = 6 при х = 1.

Перепишем исходное уравнение в виде

.

Интегрируя правую и левую части последнего выражения, получим:

.

Общее решение заданного уравнения: у = С (х + 2) .

Из начального условия следует: С = 2.

Частное решение уравнения: у = 2 (х + 2) .

3. Примеры решения задач, требующих составления дифференциальных уравнений

1) Определить характер движения тела (зависимость пути S от времени t), если на тело не действует сила F.

Решение.

Дифференциальное уравнение, описывающее поведение тела в этом случае, представляют собой второй закон Ньютона:

Считая, что масса m  0 , получим, что в этом случае ускорение равно нулю и движение происходит с постоянной скоростью v. Для установления зависимости S=f(t) учтем, что скорость движения – это производная от пути по времени и получим уравнение:

В результате интегрирования находим:

S = v t + C,  S = v t + S₀ ,

где C – произвольная постоянная, которая имеет смысл пути, пройденному к начальному моменту времени, и может быть определена из начального условия: при t = 0 S = S₀ .

Полученное решение представляет собой уравнение равномерного прямолинейного движения. Таким образом, если на тело не действует сила (F = 0), то тело сохраняет состояние покоя (частный случай v = 0), или равномерного прямолинейного движения. Используя аппарат дифференциальных уравнений, из второго закона Ньютона получаем его первый закон.

2) Установить закон изменения со временем (t) численности бактерий (n), помещенных в питательную среду .

Решение.

Для составления дифференциального уравнения, отражающего существование бактерий в этих условиях, необходим некоторый факт, который следует записать в математической форме. На основании экспериментальных данных и общих соображений таким фактом может служить утверждение: «скорость размножения бактерий (математически ) пропорциональна их числу (n) в данный момент времени».

Таким образом, необходимое дифференциальное уравнение имеет вид:

где к - доступный экспериментальному определению коэффициент пропорциональности, зависящий от вида бактерий и параметров среды их обитания. Дополнительные данные, необходимые для решения задачи следуют из начального условия: при t = 0, n = n₀ , т.е. в начальный момент времени количество бактерий считается известным и равным n₀ .

Для решения уравнения произведем разделение переменных и последующее интегрирование:

Произвольную постоянную в уравнении удобно представить в виде lnС. Из начального условия: C = n₀.

Решая логарифмическое уравнение с учетом начального условия, получим искомый закон изменения числа бактерий со временем:

.