Занятие №1 Основы дифференциального исчисления. Производная функции

1.1. Таблица некоторых производных элементарных функций.

1) (С) ′ = 0; С = const 2)

3) 3а)

4) 4а)

5) 6)

7) 8)

1.2. Правила дифференцирования

Пусть u( x ) и v( x )­ – произвольные функции аргумента x. Тогда:

1)

2)

3)

5) Производная сложной функции y = f (u), где u = f(x) :

1.3. Примеры нахождения производных

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

6) Зависимость пути S (в метрах), проходимого телом, от времени t (в секундах) определяется законом S = 2 + t³– 3t² + 2t. Найти скорость v и ускорение а через 2 секунды после начала движения тела.

Решение. Скорость тела представляет собой производную от пути по времени: v = (S)′ = (2 + t ³– 3t² + 2t)′ = 3 t² – 6 t + 2. Через 2 секунды v (t = 2) = 2 м/с.

Ускорение – это «скорость изменения скорости движения», т.е. ускорение определяется первой производной от скорости или второй производной от пути по времени: a (t) = v (t)′ = S (t) ″ = 6 t – 6.

Через 2 секунды a (t = 2) = 6 м/с².

7) Атмосферное давление P с увеличением высоты h над поверхностью Земли изменяется по закону: P = P₀ e^–kh, где P₀ – давление на поверхности Земли, k - коэффициент, который можно считать постоянным для данной температуры. Определить градиент давления.

Решение. Упрощенно, градиент некоторой величины, зависящей от расстояния, представляет собой производную от этой величины по пространственной координате h:

grad P = (P)′_h = – kP_0­ e^–kh_..

Знак «минус» в полученном результате указывает на то, что давление убывает с увеличением высоты над поверхностью Земли.

1.4. Найти производные функций

1. у = 2 а х³; 2. ; 3. у = sin² 3 x;

4. у = х³ ∙ ln x; 5. ; 6. ;

7. ; 8. у = (sin² x + 8 x)⁹.

1 .5. Решить задачи

1. График функции имеет вид трапеции (см. рисунок). Построить график производной этой функции.

2. Количество электричества Q (в кулонах), протекшего через проводник за время t (в секундах) определяется формулой: Q = 2t² + 3t + 1. Най­ти силу тока в конце пятой секунды.

3. Смещение l мышечного волокна в ответ на одиночный электрический импульс зависит от времени t по закону: l = tе ^{– t}. Найти зависимость скорости смещения волокна от времени.

4. Концентрация С некоторого вещества убывает с увеличением толщины х слоя биоткани по закону: , где С₀ – концентрация на поверхности слоя, к – постоянная. Определить градиент концентрации.

Занятие №2. Экстремумы функций. Дифференциал функции. Частные производные и полный дифференциал

2.1. Примеры и задачи с решениями.

1) Исследовать на экстремум функцию .

Решение.

• Находим производную заданной функции:

• Так как в точке максимума или минимума функции ее производная равна нулю, находим корни уравнения х² – х = 0. х (х – 1) = 0 х₁ = 0, х₂ = 1.

• Чтобы определить, где функция имеет максимум, а где минимум, находим вторую производную заданной функции:

у″ = (х² – х) ′ = 2х – 1.

При х₁ = 0 у″ (х₁ = 0) = –1 < 0. Значит, в точке х = х₁ = 0 функция имеет максимум.

При х₂ = 1 у″ (х₂ = 1) = 1 > 0. Значит, в точке х = х₂ = 1 функция имеет минимум.

• График функции имеет вид:

2) Путь S (в метрах), проходимый движущимся телом, зависит от времени (в секундах) по закону: S = 5 – 13t + 12t² – t³. Определить максимальную скорость тела.

Решение: По заданной зависимости пути от времени установим как скорость движения (производная от пути по времени) зависит от времени:

v (t) = S ′ = (5 – 13t + 12t² – t³)′ = –13 + 24 t – 3 t².

Для получения ответа на поставленный в условии вопрос необходимо исследовать на экстремум функцию v (t). Для этого находим производную от скорости и приравниваем ее нулю:

v ′ = (– 13 + 24 t – 3 t² ) ′ = 24 – 6 t = 0 t = 4.

Следовательно, скорость движения экстремальна в момент времени t = 4с. Так как вторая производная от скорости отрицательна (v" = –6) , то через 4 с после начала движения скорость достигает максимального значения v_max = 35 м/с.

3) Найти дифференциал функции y = x ∙sin 2x + x².

Решение. Дифференциал функции – это произведение производной функции на приращение (дифференциал) аргумента: dy = y' dx. Для заданной в условии функции:

dy =d ( x ∙sin 2x + x²) = ( x ∙sin 2x + x²)′∙dx = (sin 2x + 2 x cos 2x +2x) dx.

4) Количество энергии R, теряемое телом человека при испускании им инфракрасных лучей, пропорционально четвертой степени температуры Т:

R = aT ⁴ , где а – постоянная. На сколько процентов увеличилось количество энергии R, если температура тела увеличилась на 2 %?

Решение. При небольшом изменении аргумента (температуры Т) приращение функции (количества энергии R) можно считать примерно равным ее дифференциалу:

∆ R ≈ d R = ( aT ⁴)′ dT = 4 aT ³ dT .

Разделив левую и правую части полученного равенства на R = aT ⁴, получим:

.

Значит, если относительно изменение температуры , то изменение количества излучаемой энергии .

5) Найти частные производные функции двух переменных u = y³ sin² x + 2 y.

Решение.

; .

6) Найти полный дифференциал функции u = x² e^–x 2y + y² sin x.

Решение.

=

^.

7) Тело массой m = 1 кг движется со скоростью v = 1 м/с. На сколько джоулей изменится кинетическая энергия тела, если его массу уменьшить на 20 г, а скорость увеличить на 4 см/с?

Решение. Кинетическая энергия является функцией двух переменных. При малых изменениях массы (∆m = – 0,02 кг) и скорости (∆v = 0,04 м/с) изменение кинетической энергии примерно равно ее полному дифференциалу:

8) Реакция R (x,t) на x единиц лекарства спустя t часов после его приема описывается зависимостью: , где а – постоянный коэффициент для данного лекарства и данного пациента.

При каком значении дозы x реакция окажется максимальной? Когда наступит максимальная реакция?

Решение. Математически, задача сводится к нахождению экстремумов функции R . Для нахождения максимальной дозы (максимума по x) необходимо найти частную производную , приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение относительно х:

Это уравнение имеет два корня : х₁ =0 и х₂ =

Первый из них соответствует минимуму реакции организма (если доза равна нулю – ничего не вводили), а второй – максимуму. В справедливости этого утверждения легко убедиться и чисто математически, используя правила исследования функций на экстремум.

Таким образом, доза лекарства, обеспечивающая максимальную реакцию: х = .

Для нахождения времени наступления этой максимальной реакции найдем частную производную и опять же решим соответствующее уравнение относительно t:

= (2x - 3х²) 2 t e^-t - (2ax- 3x²) t² e^-t = 0.

Это уравнение имеет корни t₁= 0, t₂ = 2. По смыслу задачи и из математического анализа, следует, что первый корень (t₁ = 0) соответствует минимуму реакции, а второй – максимуму. Если, например, в уравнении время определялось в часах, то максимальная реакция наступит через 2 часа.