Дифференциальные уравнения пограничного слоя в сжимаемом газе

Для установившегося плоскопараллельного потока сжимаемого газа в уравнениях Навье–Стокса (7.2) произведем оценку порядка величин членов этих уравнений для пограничного слоя несжимаемой жидкости. Тогда первое уравнение системы

после анализа порядков величин его членов упрощается и запишется следующим образом:

. (7.7)

Вторым уравнением системы (7.2) так же, как и для несжимаемой жидкости, можно пренебречь. Из него также следует, что , т. е. вновь возможна замена на .

Уравнение неразрывности для установившегося движения сжимаемой жидкости (3.1а) для плоского случая запишем как

. (7.7а)

Так как в уравнении (7.7) коэффициент вязкости является функцией температуры, то к записанным двум уравнения необходимо добавить уравнение энергии. После его преобразования с учетом малости членов получаем

, (7.7б)

где – коэффициент теплопроводности .

Таким образом, для установившегося движения сжимаемого газа в пограничном слое необходимо решать систему трех уравнений (7.7). Основные неизвестные в этой системе уравнений – . Так как , то можно считать известным. С помощью уравнения состояния плотность определится как , а коэффициенты вязкости и теплопроводности можно считать известными функциями температуры.

Решение дифференциальных уравнений пограничного слоя, как для сжимаемой, так и для несжимаемой жидкости, достаточно сложная процедура даже для простейших тел. В связи с этим используют приближенные методы решения задач пограничного слоя, основанные на рассмотрении интегрального соотношения, являющегося математическим выражением теоремы об изменении количества движения.

Интегральное соотношение пограничного слоя

Р ассмотрим установившийся плоский пограничный слой. Выделим в пограничном слое малый объем (рис. 7.5). Применим к данному объему теорему об изменении количества движения. Вычислим изменение количества движения в направлении оси ОХ за промежуток времени . Через грань в выделенный объем втекает масса , а через грань вытекает масса . Разность между ними равна .

На основании условия неразрывности такая же масса должна втекать в объем через верхнюю границу Эта масса вносит количество движения , где U – скорость потока на внешней границе пограничного слоя. Найдем изменение количества движения жидкости в выделенном объеме. Количество движения, вносимое через грань равно , а уносимое через – . Тогда полное изменение количества движения в объеме за время равно

.

Силы давления, действующие на грани , единичной протяженностью в направлении, перпендикулярном плоскости рисунка (рис. 7.5), в проекции на ось ОХ равны

, и .

Сумма проекций сил давления равна , а импульс сил . Кроме того, на грань действует сила трения, направленная против потока и оси ОХ:

Приравняв изменение количества движения жидкости в объеме суммарному импульсу от сил давления и трения, получаем

. (7.8)

Соотношение (7.8) называют интегральным соотношением пограничного слоя. Оно пригодно для изучения как ламинарного, так и турбулентного пограничных слоев. При использовании этого соотношения для решения задач необходимы два дополнительных уравнения (неизвестные ):

1. Закон распределения скорости по поперечному сечению пограничного слоя, который можно задать приближенно аппроксимирующей функцией.

2. Зависимость напряжения трения от изменения скорости по нормали к поверхности. Например, для ламинарного пограничного слоя можно использовать формулу Ньютона (1.1).

В результате подстановки выражений для и получаем обыкновенное дифференциальное уравнение, позволяющее определить толщину пограничного слоя.

Интегральное соотношение можно привести и к другому виду. Из уравнения Эйлера–Бернулли (см. гл. 3) запишем следующее:

.

Так как , то после подстановок в выражение (7.8) интегральное соотношение будет иметь вид

.

Первый интеграл, исходя из сопоставления с выражением для толщины вытеснения, можно записать как , а второй – через толщину потери импульса: . Таким образом, . Считая , получим

или

.

Введя в рассмотрение формпараметр, представляющий собой отношение толщины вытеснения к толщине потери импульса , получим

. (7.9)

В таком виде интегральное соотношение более удобно для расчета пограничного слоя около криволинейных поверхностей.