Дифференциальные уравнения пограничного слоя в несжимаемой жидкости
Для области тонкого пограничного слоя, в котором собственно и проявляются силы трения, Л. Прандтль предложил особый метод упрощения уравнений движения (7.3), основанный на сравнении порядка величины членов уравнения и отбрасывания членов высшего порядка малости.
П
усть
поток движется вдоль твердой прямолинейной
границы в направлении оси ОХ
(рис. 7.4). Вдоль этой границы образуется
пограничный слой, толщина которого
.
Рассмотрим плоский пограничный слой в
установившемся потоке несжимаемой
жидкости (
,
скорость течения не зависит от времени,
плотность постоянная). Массовыми силами
для газа можно пренебречь (
).
С учетом принятых допущений запишем
уравнения Навье–Стокса следующим
образом:
,
(7.4)
,
(7.4а)
и
уравнение неразрывности
в виде
. (7.4б)
Эта система уравнений полностью описывает движение вязкой жидкости в пределах пограничного слоя в рамках настоящей задачи.
Оценим порядок
входящих в эти уравнения членов, имея
в виду, что
,
т. е.
имеет порядок толщины пограничного
слоя
(
)
и является малой величиной по
сравнению с характерным размером
обтекаемой поверхности, например, его
длиной
.
Скорость в пределах пограничного слоя
(
),
продольная координата
,
т. е.
.
Тогда приращение
скорости
имеет порядок величины скорости во
внешнем потоке
.
Установим порядок величины производных,
входящих в уравнения (7.4):
;
;
;
.
С
учетом уравнения неразрывности (7.4б)
.
Поскольку
,
то
,
,
.
Записав порядки величин членов уравнения
(7.4), сравним их:
.
Сравнение показывает,
что оба слагаемых левой части уравнения
(инерционные члены) имеют один и тот же
порядок малости
.
Вязкие члены (в скобках правой части)
имеют разный порядок, причем первое
слагаемое существенно меньше второго:
отношение первого ко второму равно
.
Поэтому первым слагаемым можно пренебречь,
и уравнение (7.4) запишется в несколько
упрощенном виде:
. (7.5)
Внутри пограничного
слоя силы вязкости и силы инерции имеют
одинаковый порядок, т. е. их отношение
должно быть равным единице. Тогда из
уравнения (7.5), записав инерционный и
вязкий члены через их порядки, получаем,
что их отношение равно
и отсюда
откуда получается вполне очевидное
соотношение:
.
Проведя подобный анализ членов второго уравнения (7.4а), приходим к аналогичной выражению (7.5) упрощенной записи:
.
Инерционные члены
этого уравнения имеют порядок
и относятся к инерционным членам первого
уравнения как
(малая величина). Точно в таком же
отношении друг к другу находятся и
вязкие члены. Следовательно, решая
задачу с использованием обоих уравнений,
мы приходим к выводу, что наибольший
вклад в конечный результат дает уравнение
(7.5). Очевидно, что вклад второго уравнения
не превышает указанного отношения, т.
е.
.
Поэтому инерционными и вязкими членами
второго уравнения можно пренебречь и
в задаче исследования течения в
пограничном слое вообще не учитывать.
Тогда из второго уравнения системы с
достаточной точностью можно записать
следующее:
.
Т о есть, давление внутри пограничного слоя не меняется вдоль нормали к контуру тела и равняется давлению на внешней границе пограничного слоя.
Это один из главных выводов, полученных в результате упрощения исходной системы уравнений.
Таким образом, распределение давления вдоль поверхности тела совпадает с распределением давления на внешней границе пограничного слоя, которое можно найти, решая задачу обтекания данного тела невязким (потенциальным) потоком.
Так как
,
то
и
=
.
В результате упрощений получаем систему
уравнений, описывающих движение вязкой
жидкости в пределах пограничного слоя:
(7.6)
Система уравнений (7.6) интегрируется при следующих граничных условиях:
1) при
– на внутренней границе пограничного
слоя (на стенке)
;
2) при
– на внешней границе пограничного слоя
скорость течения равна скорости
потенциального потока:
.