Основные соотношения для одномерных изоэнтропических потоков газа
Рассмотрим изоэнтропические течения газа вдоль трубки тока. Выделим два сечения 0–0 и 1–1 (рис. 4.3). Параметры газового потока в этих сечениях будем записывать, соответственно, с индексом 0 и без индекса.
Воспользуемся
уравнением Бернулли для сжимаемого
газа в виде
.
Считая, что в сечении 0–0
,
получаем
.
Используя выражение для энтальпии
преобразуем уравнение Бернулли к виду
.
(4.6)
Отсюда следует,
что при
с изменением скорости течения газа
изменяется и его теплосодержание
(определяется величиной температуры).
Это одно из самых характерных отличий
течения газа от течения несжимаемой
жидкости.
В несжимаемой
жидкости (при отсутствии трения)
температура изменяется только при
подводе и отводе тепла. В газе же
температура зависит от скорости его
движения: увеличение скорости приводит
к понижению температуры и наоборот.
Наибольшая температура
достигается, когда скорость течения
газа уменьшается до
.
С другой стороны,
из уравнения Бернулли видно, что скорость
газа, имеющего в состоянии покоя энтальпию
,
не может превосходить некоторого
максимального значения
,
при приближении к которому значения
параметров
.
С
корость
потока
достигается при расширении газа до
абсолютного вакуума (
),
когда все теплосодержание
переходит в кинетическую энергию
,
и
называется теоретической
максимальной скоростью течения газа:
.
И
спользуя
уравнение состояния для заторможенного
потока
и формулу для скорости звука (4.3), получим:
.
(4.7)
Параметры газа,
соответствующие состоянию покоя (
),
называются параметрами
изоэнтропически заторможенного потока
(
и др.). Что касается давления
,
то его еще называют полным
давлением.
Следует заметить, что на величину
влияет отношение
,
а не само давление
.
Изменение полного давления напрямую
сказывается лишь на расходе газа при
его истечении.
Выясним, насколько
повышается температура газа при его
торможении до
.
Из уравнения (4.6) получаем, что
.
Для воздуха
(К).
При обтекании
любого тела температура поверхности в
критических точках, где
,
стремится к
.
При больших числах Маха температура
значительно превышает температуру
набегающего потока (для условий реального
полета – температуру атмосферы на
данной высоте).
Выведем формулы
для расчета
.
Рассмотрим отношение энтальпий
.
Для изоэнтропического течения
,
или
.
Из уравнения состояния идеального газа
можно записать
.
Тогда
и
.
(4.8)
Используя связь
с
,
после подстановки получаем формулы для
расчета
при изоэнтропическом течении газа:
;
. (4.9)
Так как скорость звука в газе связана с его температурой соотношением (4.3), то:
.
(4.10)
При изоэнтропическом
течении газа рост его кинетической
энергии может происходить только при
понижении теплосодержания (потенциальной
энергии) газа. Как видно из формул (4.9),
при увеличении скорости течения его
давление
и температура
уменьшаются, но так как при этом
падает интенсивнее, чем
,
то плотность
газа в этом случае уменьшается (рис.
4.4). То есть:
П
ри
изоэнтропическом
(или
адиабатическом)
течении газа
с ростом скорости происходит расширение
газа.
Этим свойством обладают только газы. При изменении скорости движения капельных жидкостей изменяется только давление.
В
ыражение
(4.10) можно переписать в виде
.
(4.11)
Кривая, построенная
по формуле (4.11), представляет собой
эллипс с полуосями, равными
и
– изоэнтропический
эллипс (рис.
4.5). Анализ зависимости (4.11) показывает,
что с увеличением скорости движения
газа
скорость звука
уменьшается и при некоторой скорости
становится равной последней:
.
Эта местная скорость потока, равная
местной скорости звука, называется
критической.
С
ечение
струи газа, в котором это условие
достигается, называют критическим.
Параметры состояния газа в этом сечении
также называются критическими:
.
Рассчитаем их величины. Поскольку
,
то из формулы (4.11) с учетом выражения
(4.7) имеем следующее:
отсюда:
(4.12)
или
.
(4.13)
Так как
,
то
.
(4.14)
Для воздуха
и
.
Формула (4.13) показывает, что критическая
скорость зависит только от температуры
торможения и физических свойств данного
сорта газа, которые отражают показатель
адиабаты
и газовая постоянная
.
Для температуры
газа, соответствующей критической
скорости,
.
С учетом выражения (4.12) получим
или
(4.15)
Так как для
изоэнтропического процесса справедливы
соотношения (4.8) в виде
и
,
то
,
(4.15а)
.
(4.15б)
Для воздуха при k
= 1,4
,
.
При практических
расчетах в аэродинамике удобнее
пользоваться формулами для определения
параметров
не через максимальную скорость, а через
число Маха
.
Преобразуем отношение квадратов
скоростей
с учетом выражений (4.7) и (4.10):
.
Отсюда получаем:
.
Следовательно, формулы (4.9) для определения параметров состояния при изоэнтропическом течении газа через число Маха примут вид
,
(4.16)
,
. (4.16а)
В газовой динамике часто вместо числа М используют коэффициент скорости , определяемый из соотношения
.
При изменении
скорости потока от
до
диапазон изменения числа Маха составляет
,
в то время как коэффициент скорости
изменяется в конечных пределах
(при k
= 1,4
).
При
скорость течения газа дозвуковая, при
– звуковая и при
– сверхзвуковая (табл. 4.1).
Таблица 4.1