Движение жидкой частицы
В
кинематике твердого тела доказывается,
что в общем случае движение твердого
тела в каждый момент времени складывается
из поступательного перемещения и
вращения вокруг некоторой оси (мгновенной
оси вращения). Движение жидкой частицы
гораздо сложнее, так как она в процессе
движения еще и деформируется.
Рассмотрим
в момент времени t
движение бесконечно малой частицы
жидкости (рис. 2.3). Пусть точка М
частицы имеет скорость, проекции которой
равны
,
,
в системе координат OXYZ.
Поместим в эту точку начало системы
координат Mx1y1z1.
Тогда
в некоторой точке
на поверхности частицы с координатами
проекции скорости равны
Применим
к полученной системе разложение в ряд
Тейлора и, сохраняя только величины
первого порядка малости (члены с
и
в степени не выше первой), получим
следующее:
,
,
(2.6)
.
Преобразуем
эти выражения: прибавим к правой части
первого уравнения (2.6) величины
и
и перегруппируем члены:
Аналогично
преобразуем второе и третье уравнения
системы (2.6), дополнениями которых
являются члены
,
и
Введем следующие обозначения:
,
,
,
,
,
,
.
Тогда преобразованные выражения (2.6) для проекций вектора скорости можно записать следующим образом:
(2.7)
Введем
функцию
.
Ее производные по координатам
равны
,
,
.
Теперь
перепишем систему уравнений (2.7) с помощью
функции
(2.8)
Выясним физический смысл каждого из слагаемых, входящих в выражения (2.8):
1. – это проекции скорости поступательного движения рассматриваемой частицы в пространстве твердого тела.
2.
,
,
– проекции угловой скорости вращения
частицы жидкости (как твердого тела)
вокруг мгновенной оси, проходящей через
точку М.
Такое вращательное движение называется
вихревым
движением, а компоненты угловой скорости
– компонентами вихря. Угловая скорость
вращательного движения равна
,
где
– так называемый ротор или вихрь вектора
скорости:
=
–
,
где
– операция градиента, т. е.
.
Физически
неравенство нулю значения
в
какой-либо точке потока означает, что
в этой точке имеет место вращение
элементарного объема. Составляющие
угловой скорости вращения равны
. (2.9)
3.
.
Смысл этих слагаемых можно выяснить,
исходя из простых физических соображений.
Ясно, что жидкая частица при движении
деформируется, и эти члены представляют
собой не что иное, как скорости деформации
частицы. Поясним это на примере.
П
усть
бесконечно малая частица имеет в момент
t
форму прямоугольного параллелепипеда.
Рассмотрим его проекцию на плоскость
XY
(рис. 2.4, прямоугольник МВDС).
Компоненты скорости в точке М
равны
.
Составляющие скорости в точках В
и С
с точностью до малых первого порядка
можно представить в виде
,
,
,
,
или, так как рассматривается перемещение точек С и В относительно точки М, то
,
,
,
.
Очевидно,
что
и
есть скорости линейной деформации ребер
прямоугольника.
и
указывают на поворот ребер МС
и МВ,
т. е. скорости деформации скашивания
прямоугольника в некоторый косоугольник.
Ребро МС
поворачивается со скоростью
,
МВ
– со скоростью
,
т. е. скорость изменения прямого угла
ВМС
складывается из угловых скоростей
вращения ребер МС
и МВ
и, следовательно, представляет собой
сумму
.
Аналогичные рассуждения можно провести
для других проекций параллелепипеда.
Отсюда следует, что – компоненты скорости деформации жидкой частицы. Следовательно, формулы (2.8) подтверждают следующее:
Э
лементарное
перемещение частицы жидкости (газа)
состоит из поступательного перемещения
ее центра со скоростью
,
вращения относительно некоторой оси,
проходящей через этот центр с угловой
скоростью
,
и деформационного движения, характеризуемого
функцией
.
Эта теорема (первая теорема Гельмгольца) является основной теоремой кинематики жидкой среды. То есть движение жидкой частицы в общем случае можно разложить на поступательное движение, вращательное движение и движение от деформации, которая состоит из линейной деформации и деформации скашивания. Такое разложение наиболее правильно с динамической точки зрения, так как оно разделяет движения, происходящие от сил разной природы.