Линии тока и траектории
Методу Лагранжа отвечает понятие траекторий частиц. Траектория представляет собой линию, изображающую путь, пройденный в пространстве частицей за некоторый отрезок времени.
М
етоду
Эйлера соответствует понятие линий
тока жидкости. Рассмотрим в момент
времени t
поле скоростей потока жидкости. Общую
картину течения можно получить, если
провести в потоке движущейся жидкости
линии, совпадающие с направлением
вектора скорости. Пусть вектор скорости
в некоторой точке 1
пространства равен
(рис. 2.1). В этот же момент t
в другой точке 2,
расположенной на векторе
и очень близкой к точке 1,
вектор скорости равен
,
и т. д. В результате такого построения
получаем ломаную линию 1–2–3–4–5…,
обладающую тем свойством, что вектор
скорости, соответствующий начальной
точки каждого звена, направлен вдоль
этого звена. Устремив к нулю длину
каждого отрезка, получаем кривую,
называемую линией тока. Линия
тока –
мгновенная линия, вдоль которой в данный
момент времени двигается совокупность
частиц.
Если
движение неустановившееся, то в следующий
момент времени скорость
в точке 1
отлична от предыдущего значения. Поэтому,
проводя дальнейшие рассуждения и
построения, аналогичные предыдущим,
придем к иной кривой (к другой линии
тока).
Л
инией
тока называется
линия, касательная к каждой точке которой
совпадает по направлению с вектором
скорости в данный момент времени.
Если
– элемент линии тока, то из условия, что
на линии тока
║
,
можно записать следующие уравнения:
(2.5)
которые являются дифференциальными уравнениями линий тока.
Семейство линий тока дает картину течения в данный момент времени, можно сказать, моментальный снимок направлений скоростей потока.
Через каждую точку пространства может проходить множество траекторий частиц, они могут пересекаться и пересекать сами себя.
Линии
тока не пересекаются ни сами с собой,
ни с другими линиями тока, так как вектор
скорости в одной точке пространства не
может иметь два разных значения в данный
момент времени. Исключение составляют
лишь особые
точки, в которых скорость V
= 0 (критические точки или точки торможения)
или V
= ∞ (исток, сток). Критическая
точка
– точка потока, в которой вектор скорости
равен нулю, т. е. одновременно
.
Для системы уравнений линий тока (2.5)
эта точка является особой, в ней может
нарушаться теорема единственности
решения. Через критическую точку может
проходить несколько и даже бесконечно
много линий тока. Аналогичный вывод
можно получить для источника и стока.
Для этих кинематических образов значение
скорости в их центрах обращается в
бесконечность. Следовательно, и они
являются особыми точками для системы
уравнений (2.5).
Необходимо четко представлять разницу между линией тока и траекторией движения частицы. Если траектория отражает изменение положения частицы с течением времени, то линия тока указывает направление скоростей разных частиц в один и тот же момент времени. И только при установившемся движении линия тока совпадает с траекторией частицы. В этом случае траектории всех частиц, проходящих через какую-либо точку пространства, будут одинаковыми, следовательно, в каждый момент времени все частицы, которые лежат на траектории, будут образовывать и линию тока. В случае неустановившегося движения линии тока и траектория частицы не совпадают.
Уравнения
траектории следующие:
П
оверхность
тока –
поверхность, построенная для фиксированного
момента времени, в каждой точке которой
вектор скорости лежит в касательной
плоскости. Если выделить в движущейся
жидкости некоторый бесконечно малый
замкнутый контур, через каждую точку
которого можно провести линию тока, то
совокупность всех линий тока образует
замкнутую поверхность – трубку
тока (рис.
2.2). Жидкость, движущуюся внутри трубки
тока, называют элементарной
струйкой.
Трубка тока – простой и наглядный кинематический образ. Разбив весь поток на достаточно узкие трубки тока, можно, пользуясь основным свойством трубки – непроницаемостью ее боковой поверхности, изучать бесконечно малые перемещения выделенного объема жидкости. Между двумя произвольными линиями тока количество протекающей жидкости постоянно, поскольку вектор скорости лежит в касательной плоскости к поверхности трубки тока. То же самое можно сказать и о трубке тока: расход жидкости через любое сечение трубки тока одинаков.