4. Сходимость по вероятности

Напомним, что в математическом анализе было дано следующее определение сходимости числовой последовательности.

Определение. Числовая последовательность сходится к числу , если для любого числа , существует такой номер , что при всех выполняется неравенство

.

Рассмотрим теперь последовательность случайных величин , для которой введем понятие сходимости по вероятности.

Определение. Последовательность случайных величин , сходится по вероятности к величине , если для любого числа , вероятность выполнения неравенства с увеличением стремится к единице, т.е.

.

Отметим различия в определениях сходимости числовой последовательности и сходимости по вероятности последовательности случайных величин. Для сходимости числовой последовательности существенно существование номера , начиная с которого выполняется неравенство .

В случае сходимости по вероятности такого номера не существует. Возможно, что сколь большим ни было число , неравенство выполняться не будет. Из равенства (1) только следует, что при больших выполнение неравенства является событием практически достоверным, а выполнение неравенства противоположного смысла – событием практически невозможным.

4. Теорема Чебышева

Теорема Чебышева. Если случайные величины , ,…, независимы, имеют соответственно математические ожидания , ,…, и дисперсии , ,…, , каждая из которых ограничена одним и тем же числом , то с возрастанием средняя арифметическая случайных величин , ,…, сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий

Доказательство. Обозначим через среднюю арифметическую заданных случайных величин , ,…,

.

Найдем числовые характеристики случайной величины .

Воспользовавшись свойствами математических ожиданий, находим

. (2)

Так как случайные величины , ,…, независимы, то на основании свойств дисперсии имеем

. (3)

По условию дисперсии всех случайных величин ограничены одним и тем же числом , т.е.

.

Таким образом, из равенства (3) получаем, что для случайной величины имеет место оценка

.

На основании второго неравенства Чебышева, записанного для случайной величины , получаем

,

Откуда с учетом равенств (1), (2), (3) получаем

Теорема Бернулли

4. Интегральная теорема Муавра – Лаплапса.

8