3.4. Непрерывное вероятностное пространство

До сих пор мы рассматривали дискретное вероятностное пространство, для краткого описания которого применяют пару символов , где - пространство элементарных событий, вероятность события.

Однако возможны ситуации, в которых пространство элементарных событий может оказаться более, чем конечным или счетным, а именно, континуальным.

Например, в задаче о встрече, приведенной в § 1 п. 1.3.2, возможно бесконечное несчетное множество элементарных исходов – точек квадрата , координаты которых равны моментам прихода к месту встречи каждого из двух партнеров. Таким образом, в рассматриваемой задаче пространство элементарных событий является континуальным.

Континуальные пространства символически определяются тройкой символов

, где, как и раньше, - пространство элементарных событий, вероятность события.

Рассмотрим вторую компоненту вероятностного пространства . Отметим, что особенность общего непрерывного случая состоит в том, что в континуальном

пространстве элементарных событий существуют как измеримые подмножества, так и неизмеримые.

Определение. Событиями называются измеримые подмножества пространства элементарных событий .

Систему всех измеримых подмножеств пространства элементарных событий обозначают буквой и называют алгеброй событий.

Аксиома. Каждому подмножеству – событию из системы соответствует неотрицательное число, не превосходящее единицы, которое называется вероятностью события , обозначается и обладает следующими свойствами:

1)

2) .

Вероятность события является функцией соответствующего подмножества, пространства элементарных событий и называется вероятностной мерой, определенной на системе подмножеств .

В определенном таким образом вероятностном пространстве сохраняются все доказанные ранее теоремы.

3.5. Вопросы и задания для самопроверки