§3. Аксиоматическое построение теории вероятностей

Развитие теории вероятностей, а также ее приложений в различных областях науки и практики привело к необходимости формально логического обоснования теории вероятностей. Эта задача была решена А.Н. Колмогоровым в начале 30-х годов прошлого столетия. На основании теории множеств и современной метрической теории функций им впервые была построена аксиоматическая теория вероятностей, которая опирается на ряд исходных факторов, не требующих доказательств (аксиом), а вся остальная теория строится на основании этих понятий с помощью дедуктивного метода. Такой подход превратил теорию вероятностей в точную математическую науку.

Таким образом, при построении теории вероятностей возможны два подхода: математико-статистический и теоретико-множественный. Первый подход был изложен в §1-2. В этом параграфе мы рассмотрим теоретико-множественное построение теории вероятностей.

3.1. Дискретное вероятное пространство

Введем понятие дискретного пространства элементарных событий. Пусть производится некоторый случайный эксперимент, в результате которого может произойти некоторое множество единственно возможных и несовместных исходов.

Определение. Каждый из единственно возможных и несовместимых исходов случайного эксперимента будем называть элементарным событием или элементарным исходом.

Обозначаются элементарные события малой греческой буквой с индексом .

Определение. Совокупность всех элементарных исходов случайного эксперимента называется пространством элементарных событий (исходов).

Обозначают пространство элементарных событий большой греческой буквой .

Определение. Пространство элементарных событий называется дискретным, если множество, составляющих его элементарных исходов конечно или счетно. Таким образом, дискретными пространствами элементарных событий являются

и .

Приведем примеры случайных экспериментов и соответствующих им пространств элементарных событий.

Пример 1. Если проводится случайный эксперимент, состоящий в подбрасывании монеты, то этому эксперименту соответствует дискретное вероятное пространство, состоящие из двух элементарных событий

,

где элементарное событие, состоящие в том, что в результате испытания появится герб;

элементарное событие, состоящие в том, что в результате испытания появится решка.

Пример 2. Если производится случайный эксперимент, состоящий в подбрасывании игральной кости, то этому эксперименту соответствует дискретное вероятностное пространство, состоящие из шести элементарных событий

,

где элементарное событие, состоящие в том, что в результате испытания на верхней грани игральной кости появится очков.

Пример 3. Если производится наблюдение за автоматической линией на некотором предприятии, то соответствующее дискретное вероятностное пространство можно записать в виде

,

где число сбоев станков автоматической линии.

Любое событие в теоретико-множественном построении теории вероятностей является некоторым подмножеством элементарных событий пространства .

Определение. Случайным событием называют любое подмножество пространства элементарных событий, т.е.

Например, если производится случайный эксперимент, состоящий в подбрасывании игральной кости (см. пример 2), то события выпадает четное число очков, событие выпадает нечетное число очков, выпавшее число очков не превзойдет трех, являются событиями, которые соответственно запишутся в виде

, , .