5.2. Пуассоновское распределение

Если число испытаний увеличивается, то увеличивается число членов биномиального распределения. Так как сумма вероятностей всех возможных значений остается равной единице, то значение вероятности каждого отдельного значения уменьшается. Этим объясняется то, что закон Пуассона иногда называют законом резких событий.

Определение. Дискретная случайная величина , возможными значениями которой являются , а вероятности соответствующих значений определяются по формуле Пуассона

называется пуассоновской случайной величиной с параметром .

Пуассоновское распределение широко используется в теории массового обслуживания. Число называется интенсивностью.

Закон распределения Пуассоновской случайной величины можно записать в виде таблицы 2:

Таблица 2.

	1	2	…
			…		…

Свойства закона распределения Пуассона.

Свойство 1. Сумма вероятностей всех возможных значений пуассоновской случайной величины равна единице, т.е.

.

Доказательство. Найдем сумму ряда

. ●

Свойство 2. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равны между собой, причем имеют место равенства

.

Доказательство. Пользуясь определением математического ожидания, находим математическое ожидание пуассоновской случайной величины, заданной таблицей 2.

.

Итак, доказано, что

.

Найдем теперь дисперсию пуассоновской случайной величины

.

Вычислим , получим

.

Поэтому

. ●

5.3. Равномерное распределение

Определение. Непрерывная случайная величина называется равномерно распределенной на отрезке , если плотность распределения вероятности постоянна на отрезке и равна нулю вне его.

Из определения следует, что дифференциальная функция равномерно распределенной случайной величины имеет вид

Свойства равномерного распределения

Свойство 1. Дифференциальная функция равномерно распределенной на отрезке случайной величины записывается в виде

(1)

Доказательство. Найдем постоянную , воспользовавшись свойством 4 дифференциальной функции распределения

.

Откуда получаем

.

Следовательно, плотность вероятности равномерно распределенной случайной величины имеет вид

График плотности вероятности равномерно распределенной случайной величины изображен на рисунке 1.

Рис. 1.

Свойство 2. Интегральная функция распределения случайной величины, равномерно распределенной на отрезке , записывается в виде

.

Доказательство. Для того, что бы найти интегральную функцию распределения равномерно распределенной случайной величины воспользуемся свойством 3 дифференциальной функции распределения

.

Рассмотрим следующие три случая

	Если , то при . Поэтому .
	2) Если , то из свойства аддитивности определенного интеграла получаем .
	3) Если , то, воспользовавшись свойством аддитивности определенного интеграла, находим

.

Объединив рассмотренные три случая, находим

График интегральной функции равномерно распределенной случайной

величины изображен на рисунке 2

Рис. 2.

Свойство 3. Математическое ожидание случайной величины, равномерно распределенной на отрезке , определяется по формуле

.

Доказательство. Вычислим математическое ожидание равномерно распределенной случайной величины, воспользовавшись формулой

.

Откуда с учетом (1) получаем

.

Свойство 4. Дисперсия случайной величины, равномерно распределенной на отрезке , определяется по формуле

.

Доказательство. Воспользовавшись формулой для вычисления дисперсии непрерывной случайной величины

,

для равномерно распределенной случайной величины находим

. ●

Свойство 5. Среднее квадратическое отклонение случайной величины равномерно распределенной на отрезке , вычисляется по формуле

.

Доказательство. Так как среднее квадратическое отклонение

,

то среднее квадратическое отклонение для равномерно распределенной случайной величины находим

. ●

Пример 1. Случайная величина равномерно распределена на интервале . Найти: а) дифференциальную функцию распределения и построить ее график;

б) интегральную функцию распределения и построить ее график;

в) числовые характеристики заданной случайной величины.