§ 5. Законы распределения случайных величин

В этом параграфе мы изучим некоторые конкретные случайные величины, часто используемые в теории вероятностей, математической статистике и их приложениях.

5.1. Биномиальное распределение

Случайная величина с биноминальным законом распределения возникает в схеме Бернулли. Пусть проводится серия независимых испытаний, причем каждое испытание имеет два исхода: «событие появилось» или «событие не появилось». Вероятность появления события в каждом отдельном испытании равна .

Определение. Дискретная случайная величина , возможными значениями которой являются частоты появления события в независимых испытаниях , а вероятность соответствующих значений определяются по формуле Бернулли

называется биномиальной случайной величиной с параметрами и .

Таким образом, закон распределения биномиальной случайной величины можно записать в виде таблицы 1.

Таблица 1.

	0	1	…
			…

Свойства биномиального закона распределения

Свойство 1. Сумма вероятностей всех возможных значений биномиальной случайной величины равна единице, т.е.

.

Доказательство. Так как по определению биномиального закона распределения

,

то, согласно разложению степени бинома по формуле Ньютона, имеем

. ●

Из этого свойства вытекает название биномиального распределения вероятностей.

Свойство 2. Если частота возрастает то нуля до некоторого значения частоты , то вероятность соответствующих значений также возрастают до величины , а при дальнейшем возрастании частоты вероятности соответствующих значений убывают.

Доказательство. Выведем условия, при которых вероятности с ростом возрастают, т.е. удовлетворяют неравенству

или . (1)

Так как

; ,

то из равенства (1) получаем

,

откуда находим

(2)

Следовательно, при возрастании от нуля до вероятности соответствующих значений монотонно возрастают.

Аналогично выводим условие, при котором вероятности соответствующих значений с ростом убывают.

Если

,

то

. (3)

Так как

,

то

,

откуда находим

. (4)

Следовательно, при возрастании от до вероятности соответствующих значений монотонно убывают.

Таким образом, существует частота, которой соответствует наибольшая вероятность.

Определение. Частота, которой соответствует наибольшая вероятность при заданных параметрах и называется наивероятнейшей частотой.

Наивероятнейшую частоту обычно обозначают .

Свойство 3. Наивероятнейшая частота определяется из двойного неравенства

.

Доказательство. Из определения наивероятнейшей частоты получаем

и .

Согласно свойству 2, имеем

; (5)

. (6)

Объединив неравенства (5) и (6) получаем двойное неравенство для определения наивероятнейшей частоты

.

Если целое число, то наивероятнейшая частота принимает два значения:

или .

Если дробное число, то наивероятнейшая частота имеет единственное значение, которое равно целой части числа , т.е.

.

Из рассмотренных свойств биномиального закона распределения следует, что полигон распределения вероятностей биномиальной случайной величины имеет вид

дробное число

целое число

Свойство 4. Числовые характеристики биноминальной случайной величины вычисляются по формулам

, , .

Доказательство. Математическое можно найти, пользуясь определением математического ожидания случайной величины, что приводит к громоздким вычислениям.

Более простой путь состоит в следующем. Свяжем с ым испытанием случайную величину , которая сможет принимать только два значения:

, если в ом испытании событие произошло, вероятность этого значения ;

, если в ом испытание событие не произошло, .

Так как испытания в схеме Бернулли независимы, то независимы случайные величины , причем закон распределения каждой из них имеет вид

	0	1

Найдем математическое ожидание случайной величины

Найдем теперь дисперсию

.

Очевидно, частота наступления события в независимых испытаниях равна сумме рассматриваемых случайных величин .

.

Пользуясь свойством 4 математических ожиданий, получаем

Пользуясь свойством 4 дисперсии, находим

.

По определению среднего квадратического отклонения

.

Итак, доказано, что числовые характеристики частоты вычисляются по формулам:

, (7)

, (8)

. (9)

Следствие. Числовые характеристики относительной частоты вычисляются по формулам:

, , .

Доказательство. Воспользовавшись формулой 7 и свойством 2 математического ожидания, получаем

.

Из формулы 8 и второго свойства дисперсии, следует

.

Согласно определению среднего квадратического отклонения случайной величины, получаем

. ●