1.4. Действия над событиями

Определение. Суммой двух событий и называется событие C, которое состоит в наступлении хотя бы одного из этих событий

.

Таким образом, суммой двух совместных событий и называется событие C, которое состоит в наступлении или события , или события , или событий и вместе.

Определение. Суммой событий называется событие C, которое состоит в наступлении хотя бы одного из этих событий

.

Продемонстрируем данное определение с геометрической точки зрения с помощью диаграммы Эйлера-Венна.

Пример 1. Пусть событие состоит в попадании в круг , событие состоит в попадании в круг . Требуется определить событие .

Рис. 1.

Решение. Согласно определению, если события и совместны (рис.1), то событие состоит в попадании в круг , или в попадании в круг , или в попадании в круг и в круг , т.е. событие состоит в попадании в

заштрихованную область. Если события и несовместны, то с геометрической точки

Рис. 2.

зрения (рис.2) круги на диаграмме Эйлера-Венна не пересекаются. В этом случае сумма событий состоит в попадании в круг , или попадании в круг , т.е. только в один из рассматриваемых кругов.

Из рассмотренного примера вытекает следующее определение суммы несовместных событий.

Определение. Суммой несовместных событий называется событие C, которое состоит в наступлении одного из этих событий.

Пример 2. Найти событие, состоящее в том, что студент сдаст экзамен.

Решение. Введем обозначения:

событие A₅ состоит в том, что студент получит оценку „5” на экзамене,

событие A₄ состоит в том, что студент получит оценку „4” на экзамене,

событие A₃ состоит в том, что студент получит оценку „3” на экзамене,

событие A₂ состоит в том, что студент получит оценку „2” на экзамене,

Так как события A₅, A₄, A₃ несовместны, то событие C, состоящее в том, что студент сдал экзамен, означает, что студент на экзамене получит только одну из оценок „5” или „4”, или „3”, т.е.

.

Определение. Произведением двух событий A и B называется событие C, состоящее в совместном наступлении этих событий

.

Таким образом, произведением двух событий и является событие , которое состоит в наступлении и события , и события .

Определение. Произведением событий называется событие , состоящее в совместном наступлении этих событий

.

Рассмотрим произведение событий с геометрической точки зрения.

Пример 3. Пусть событие состоит в попадании в круг , событие состоит в попадании в круг . Требуется определить событие .

Рис. 3.

Решение. Согласно определению, для совместных событий и (рис.3) произведение этих событий состоит в попадании и в круг , и в круг , т.е. событие состоит в попадании в заштрихованную область.

Если события и несовместны, то с геометрической точки зрения (рис.4),

Рис. 4.

круги на диаграмме Эйлера-Венна не имеют ни одной общей точки, а поэтому невозможно одновременно попасть и в круг , и в круг . В этом случае произведение событий является невозможным событием .

Этот вывод остается верным и в общем случае, если события A и B несовместны, то их совместное наступление невозможно, т.е. произведение

.

Пример. Найти событие, состоящее в том, что студент сдал сессию, включающую в себя три экзамена.

Решение. Введем обозначения:

событие состоит в том, что студент сдал первый экзамен,

событие состоит в том, что студент сдал второй экзамен,

событие состоит в том, что студент сдал третий экзамен,

Тогда событие , состоящее в том, что студент сдал сессию, означает, что студент сдал и первый экзамен, и второй экзамен, и третий экзамен, т.е.

.

Операции действий над событиями обладают следующими свойствами:

Законы коммутативности	5. Законы де Моргана .
Законы ассоциативности	6. Законы поглощения .
Законы дистрибутивности	Законы склеивания
4. Законы идемпотентности .	8. Законы, в которые входят достоверное событие и невозможное событие ; ; = .