
- •1.2. Классификация событий
- •Примерами достоверных событий являются: появление белого шара из урны, в которой находятся только белые шары; выигрыш в беспроигрышной лотерее.
- •Если событие влечет за собой событие , то это обозначают символами
- •1.3. Определения вероятности
- •1.3.1. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности
- •Свойства вероятности
- •1.3.2. Геометрическое определение вероятности
- •1.3.3. Статистическое определение вероятности
- •1.4. Действия над событиями
- •1.5. Вопросы и задания для самопроверки
1.3.2. Геометрическое определение вероятности
Пусть
производится испытание, состоящее в
бросании на удачу точки на некоторую
область
пространства
.
Все точки области
«равноправны» в отношении попадания в
нее брошенной случайно точки. Требуется
определить вероятность события
,
состоящего в попадании точки на некоторую
область
.
Геометрическое
определение вероятности.
Геометрической
вероятностью события
называются отношения меры области
,
благоприятствующей появлению события
,
к мере области
.
Точное определение меры множества приведено в приложении II. Здесь мы отметим, что в одномерном случае мера отрезка равна его длине, в двумерном случае, мера фигуры равна ее площади, в трехмерном пространстве мера тела равна его объему.
Пример 1. На участке между двумя пунктами, расположенными соответственно на 40-м и 70-м километрах телефонной линии, произошел обрыв провода. Определить вероятность того, что обрыв произошел между 50-м и 55-м километрами линии. Предполагается, что вероятность обрыва провода на любом отрезке телефонной линии между рассматриваемыми пунктами пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения на линии.
Решение.
Для решения задачи воспользуемся
геометрическим определением вероятности.
Обозначим через
событие,
состоящее в том, что обрыв произошел
между 50-м и 55-м километрами телефонной
линии. Так как мера
равна длине участка, на котором произошел
обрыв, т.е
,
а мера
равна длине телефонной линии между
рассматриваемыми пунктами, т.е.
,
то на основании геометрического
определения вероятности находим
.
Пример 2. Два партнера условились встретиться между 17 и 18 часами. Причем каждый является на место встречи в любой момент между 17 и 18 часами, ждет другого в течении 30 мин и уходит, если встреча не состоялась. Найти вероятность того, что назначенная встреча состоится.
Решение. Для решения задачи воспользуемся геометрическим определением вероятности.
B K C
g G
Рис.1. |
В
прямоугольной системе координат
Пусть
первый партнер явился на место встречи
в момент
По условию задачи значения и изменяются в пределах
Этим неравенствам удовлетворяют точки области |
,
которая представляет собой квадрат
,
со стороной равной 1, поэтому
(ед.
мас.)2.
Событие
– встреча двух партнеров состоится,
если модуль разности между
и
не превзойдет 0,5 часа, т.е.
,
откуда
.
С
геометрической точки зрения, решением
последнего неравенства являются точки,
лежащие внутри заштрихованной полосы
(рис 1). Найдем площадь области
.
Поэтому вероятность встречи двух партнеров определяется по формуле
.