Если событие влечет за собой событие , то это обозначают символами

или .

Пример 6. Если событие изготовлено изделие первого сорта, событие изготовлено изделие второго сорта, событие изготовлено стандартное изделие, то

, .

Определение. Если событие влечет за собой событие , а событие влечет за собой событие , то события и называют эквивалентными или равносильными и обозначают

.

Таким образом, равносильные события и при каждом испытании или оба наступают или оба не наступают.

1.3. Определения вероятности

Для построения теории вероятностей, помимо уже введенных основных понятий (случайного эксперимента, случайного события), необходимо ввести еще одно основное понятие – вероятности случайного события.

Отметим, что представления о вероятности события менялись в ходе развития теории вероятностей. Проследим историю развития этого понятия.

Под вероятностью случайного события понимают меру объективной возможности появления события.

Это определение отражает понятие вероятности с качественной точки зрения. Оно было известно еще в древнем мире.

Количественное определение вероятности события впервые было дано в работах основоположников теории вероятностей, которые рассматривали случайные эксперименты, обладающие симметрией или объективной равновозможностью исходов. К таким случайным экспериментам, как уже отмечалось выше, относятся чаще всего искусственно организованные эксперименты, в которых предприняты специальные методы для обеспечения равновозможности исходов (тасовка карт или костей домино, изготовление идеально симметричных игральных костей, монет и т.д.). Применительно к таким случайным экспериментам в ХVII в. французским математиком Лапласом было сформулировано классическое определение вероятности.

1.3.1. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности

Классическое определение. Вероятностью события A называется отношение числа событий, благоприятствующих событию A, к общему числу единственно возможных, равновозможных и несовместных событий, т.е.

,

где вероятность события A;

число событий, благоприятствующих событию A;

общее число единственно возможных, равновозможных и несовместных

событий.

Это определение вплоть до ХІХ века рассматривалось как единственное определение вероятности события. Отметим, что до настоящего времени классическое определение вероятности не потеряло своего значения, так как именно с его помощью легче всего познакомиться со свойствами вероятности и основными теоремами теории вероятностей.

Пример 1. Найти вероятность того, что при подбрасывании идеально симметричной монеты выпадет герб.

Решение. При бросании монеты возможны два исхода – появление герба и появление решки, причем эти события являются единственно возможными, равновозможными и несовместимыми, т.е. .

Обозначим через - событие, состоящее в появлении герба. Тогда - число событий, благоприятствующих событию A . По классическому определению вероятности находим

.

Пример 2. Найти вероятность того, что при подбрасывании идеально симметричной игральной кости появится а) четное числа очков на верхней грани, б) появится шесть очков на верхней грани.

Решение. При бросании игральной кости возможны шесть исходов – появление 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков на верхней грани кости, причем эти события являются единственно возможными, равновозможными и несовместимыми, т.е. .

а) Обозначим через - событие, состоящее в появлении четного числа очков на верхней грани. Тогда появлению события благоприятствуют три события – появление 2, 4, 6 очков на верхней грани кости, т.е. . По классическому определению вероятности находим

.

б) Обозначим через C - событие, состоящее в появлении шести очков на верхней грани. Тогда появлению события благоприятствует только одно событие – появление 6 очков на верхней грани кости, т.е. . По классическому определению вероятности находим

.

Пример 3. Найти вероятность того, что при извлечении из тщательно перетасованной колоды, состоящей из 36 карт, появится «дама».

Решение. Общее число единственно возможных, равновозможных и несовместных событий . Обозначим через D - событие, состоящее в появлении дамы. Тогда - число событий, благоприятствующих событию D. По классическому определению вероятности находим

.

Пример 4. В урне находиться 4 белых и 3 черных шара. Найти вероятность того, что из урны будут извлечены два белых шара.

Решение. При решении этой задачи воспользуемся формулами комбинаторики (Приложение 1) Общее число единственно возможных, равновозможных и несовместных событий равно числу способов, какими можно выбрать 2 шара из 7:

.

Обозначим через событие, состоящее в появлении двух белых шаров (одновременно или последовательно). Тогда число исходов, блгоприятствующих событию равно числу способов, какими можно выбрать 2 белых шара из 4: .

По классическому определению вероятности находим

.

Пример 5. По условиям лотереи «Спортлото 6 из 45» участник, отгадавший 4,5,6 видов спорта из отобранных при случайном розыгрыше 6 видов спорта из 45, получает денежный приз. Найти вероятность того, что будут угаданы: а) все виды спорта; б) четыре вида спорта.

Решение. Общее число всех единственно возможных, равновозможных и несовместных событий, т.е. всех вариантов заполнения карточек спортлото, составляет

.

а) Пусть событие состоит в том, что угаданы все 6 цифр. Тогда существует только одна комбинация цифр, благоприятствующая событию , т.е. .

Определим вероятность события , пользуясь классическим определением вероятности

.

б) Пусть событие состоит в том, что угаданы 4 вида спорта среди 6 выигрышных. В начале найдем число способов, какими можно выбрать 4 вида спорта из 6 выигравших. Число таких способов равно числу сочетаний из 6 элементов по 4, т.е. . К каждой комбинации 4-х выигравших видов спорта среди 6 нужно присоединит композицию 2-х не выигравших видов из 45-6=39, т.е. . По правилу произведения общее число событий, благоприятствующих событию

.

Находим вероятность события , пользуясь классическим определением вероятности

.