1.5. Эквивалентные соотношения (тождества) алгебры логики
Приведем список тождеств, характеризующих свойства элементарных функций. Использование этих тождеств полезно при решении задач.
Свойство ассоциативности:
1. (( ) )=( ( )) = , где – только одна из функции {, , }.
Свойство коммутативности:
2. ( )=( ).
Дистрибутивные законы:
3. ( )& =( & )( & ).
4. ( & ) =( )&( ).
5. ( )& =( & ) ( & ).
Правила Де Моргана:
6. (
)=
&
.
7. (
)=
.
8.
=
.
Свойства 0 и 1:
9. 1 = 1.
10. 0 = .
11. & 1 = .
12. & 0 = 0.
Закон противоречия:
13. & = 0.
Закон исключения третьего:
14. = 1.
Законы идемпотентности:
15. = .
16. & = .
Закон поглощения:
17. & = (или = ).
Правило простого склеивания:
18. = .
Обобщенное склеивание:
19. = .
Еще несколько дополнительных правил:
20. = .
21. = .
22. ~ = .
23.
/
=
=
.
24. = = .
Утверждение.
Если
– подформула формулы B,
то при замене ее вхождения на эквивалентную
подформулу
формула B перейдет в
формулу A, эквивалентную
B.
Этот принцип вместе с эквивалентными соотношениями позволяет осуществлять эквивалентные преобразования и получать новые эквивалентные соотношения.
Пример. Используя основные эквивалентности, проверим равенство x (y z) = (x y) (x z).
На основании
тождества (20) получим
(
z) =
(
z). Применим один из
законов Де Моргана и тождество (8), опустим
лишние скобки (тождество (1)) и получим
z =
z. Далее применяем
правила обобщенного склеивания к
подформуле
,
преобразуем соотношение к виду
z =
z. Выполняем поглощение
произведения
сомножителем
,
в результате получаем окончательное
соотношение
z =
z.
1.6. Разложение булевой функции по подмножеству переменных и совершенные нормальные формы
Введем обозначение
,
где {0,
1}. Очевидно
Заметим, что
=
1 тогда и только тогда, когда x
= .
– любое произведение
из m переменных. Число
всевозможных произведений есть
.
– функция f
с фиксацией m первых
переменных некоторыми константами.
.
.
Теорема 1.1.
Любая булева функция
может быть разложена по m
переменным,
,
следующим образом:
. (1)
Доказательство.
Рассмотрим произвольный набор
значений переменных
,
подставим его в левую и правую части
нашего равенства, покажем, что левая и
правая части соотношения (1) принимают
одно и то же значение.
Левая часть имеет
вид
.
Правая часть имеет
вид
.
Если
и
– различны, то
= 0 и из
слагаемых остается только одно
,
так как
=1,
то
правая часть = = левая часть.
Ч.Т.Д.
Частные случаи (1.1):
1) разложение по одной переменной:
.
Такое разложение называется разложением
(декомпозицией) Шеннона;
2) разложение по всем переменным:
.
Если
=
0, то логическое произведение
удаляется. В результате имеем
.
Такое разложение называется совершенной
дизъюнктивной нормальной формой
(Сов.ДНФ).
Алгоритм построения Сов.ДНФ по таблице истинности.
1. Строим таблицу истинности булевой функции.
2. В векторе-столбце значений функции выбираем очередную единицу. Если единицы исчерпаны, то идем в п. 4.
3. По набору значений переменных выбранной строки формируем конъюнкцию всех аргументов с соблюдением следующего правила: если i-я компонента набора равна 0, то i-я переменная входит в конъюнкцию с инверсией, иначе – без инверсии. Полученную конъюнкцию добавляем в формулу как очередное слагаемое. Идем в п. 2.
4. Конец алгоритма.
Пример. Применим алгоритм к функции, заданной таблицей истинности (табл. 1.8).
Таблица 1.8 |
|
|||
|
|
|
f ( , , ) |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
=
=
=
=
=
=
Соединив полученные конъюнкции знаком дизъюнкции, имеем
.
Теорема 1.2. Любая булева функция может быть представлена формулой над множеством элементарных функций {, , }.
Доказательство.
1) Пусть
= 0, тогда
=
,
i
{1,…, n}.
2) Пусть
0, тогда
.
Ч.Т.Д.
Сов.ДНФ булевой функции единственна. Такое представление булевых функций может быть использовано для сравнения.
Применим разложение
(1) для
:
.
Возьмем инверсию правой и левой частей нашего равенства:
=
=
=
.
Если
= 1, то вся скобка в логическом произведении
превращается в константу 1. В итоге имеем
– совершенная
конъюнктивная нормальная форма (Сов.КНФ).
Алгоритм построения Сов.КНФ по таблице истинности.
1. Строим таблицу истинности булевой функции.
2. В векторе-столбце значений функции выбираем очередной 0. Если нули исчерпаны, то идем в п. 4.
3. По набору значений переменных выбранной строки формируем дизъюнкцию всех аргументов с соблюдением следующего правила: если i-я компонента набора равна 0, то i-я переменная входит в дизъюнкцию без инверсии, иначе – с инверсией. Полученную дизъюнкцию добавляем в формулу как очередной сомножитель. Идем в п. 2.
4. Конец алгоритма.
Пример. Применим алгоритм к функции, заданной таблицей истинности (табл. 1.9).
Таблица 1.9 |
|
|||
|
|
|
f ( , , ) |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
=
=
Соединив полученные дизъюнкции знаком конъюнкции, имеем
( ) ( ).