2.5. Ядро днф

Определение. Ядром ДНФ D называется совокупность H всех таких конъюнкций:

H = ,

для каждой из которых выполняется условие

.

Иными словами, конъюнкция входит в ядро H ДНФ D, если она не поглощается совокупностью других конъюнкций ДНФ D.

В рассмотренном выше примере конъюнкции , , входят в ядро, остальные – нет.

Будем иметь в виду, если ДНФ является безызбыточной (тупиковой), то каждая ее конъюнкция входит в ядро.

ДНФ, сопоставляемая безызбыточному покрытию функции f( ,…, ), называется безызбыточной или тупиковой.

Теорема 2.7. Конъюнкция k из ДНФ D входит в пересечение тупиковых ДНФ, если и только если она входит в ядро этой ДНФ.

Доказательство. Достаточность. Пусть k входит в ядро. Покажем, что она содержится в пересечении тупиковых ДНФ. Допустим противное, то есть k не содержится в пересечении тупиковых ДНФ. Это значит, что она была исключена при построении одной из тупиковых ДНФ. Однако тогда  , то есть не принадлежит ядру ДНФ. Пришли к противоречию.

Необходимость. Пусть k входит в пересечение тупиковых ДНФ. Покажем, что она принадлежит ядру ДНФ. Допустим противное: k не принадлежит ядру. Тогда для нее выполняется условие  , то есть k может быть удалена при построении некоторой тупиковой ДНФ. Значит, k не принадлежит пересечению тупиковых ДНФ. Пришли к противоречию. Ч.Т.Д.

Будем иметь в виду, что для некоторых функций совершенная ДНФ совпадает с сокращенной и, следовательно, совершенная ДНФ является минимальной и кратчайшей одновременно. Речь идет о совершенной ДНФ, конъюнкции которой попарно ортогональны по двум и более переменным. Такие ДНФ встречаются на практике, представляя, например, кодовые слова равновесных кодов, кодов Бергера и т.д.

Сокращенная ДНФ монотонной функции совпадает со своим ядром и, значит, является минимальной и кратчайшей ДНФ одновременно. Это утверждается в нижеследующей теореме.

Функция называется монотонной, если для любых двух наборов  и  таких, что , имеет место неравенство f ()  f ().

Теорема 2.8. Сокращенная ДНФ монотонной функции не содержит отрицаний переменных и является ее единственной минимальной (кратчайшей) ДНФ.

Доказательство. Докажем сначала первую часть утверждения. Рассмотрим простую импликанту k функции f( ,…, ) ранга r и представим ее в виде . Простая импликанта, так же как и функция, обращается в единицу на всяком наборе α значений переменных ,…, , удовлетворяющем условию: = … = = 1, = … = = 0. В силу монотонности функция f( ,…, ) обращается в единицу на всяком наборе , удовлетворяющем условию = … = = 1. Последнее означает, что конъюнкция является импликантой функции f( ,…, ). Тогда конъюнкция k не является простой импликантой этой функции. Пришли к противоречию, следовательно, допущение о наличии отрицаний переменных в простых импликантах сокращенной ДНФ монотонной функции f( ,…, ) не верно.

Итак, на основании только что доказанного произвольная простая импликанта k ранга r монотонной функции f( ,…, ) представляется в виде . Покажем, что она не может быть исключена из сокращенной ДНФ функции. Рассмотрим набор α значений переменных ,…, такой, что в нем = … = = 1, = … = = 0. Покажем, что на этом наборе только конъюнкция k обращается в единицу. Допустим, что найдется другая простая импликанта , которая обращается в единицу на этом наборе. По доказанному ранее не содержит отрицаний переменных. Следовательно, поглощает k, то есть k не является простой импликантой. Пришли к противоречию. Делаем заключение: k является единственной простой импликантой, обращающейся в единицу на наборе α, значит, k нельзя исключить из сокращенной ДНФ. В силу произвольного выбора k ни одну из простых импликант нельзя исключить из сокращенной ДНФ функции f( ,…, ). Значит, сокращенная ДНФ является минимальной (кратчайшей) ДНФ монотонной функции. Ч.Т.Д.