3. Варианты заданий, предлагавшихся на первой рубежной аттестации студентам 1 курса фкн вгу в предыдущие годы.

Вариант №1

Задание 1. Лемма о вложенных промежутках.

Задание 2. Теорема о существовании inf ограниченного снизу числового множества.

Задание 3. Определение inf числового множества.

Задание 4. Пусть E= E , при каждом α A существует sup E_α = y_α и существует sup y_α = y₀. Показать, что y₀ = sup E.

Задание 5. Найдите А В, А В, В А, А В, если А = {- 1; 0; 1; 2; 3}, В = { 2; 3; 4; 5}.

Задание 6. Решите неравенство: | x | > | x + 1 |.

Задание 7. Найдите inf X и sup X, если X = {x_n : x_n = 3 sin4n, n N}.

Задание 8. Приведите пример множества Х такого, что inf X = 0 и sup X = 3.

Задание 9. Пусть Х непустое, ограниченное множество, - Х – множество элементов вида -х (х Х). Докажите, что inf (–X)= - sup X.

Задание 10. Докажите с помощью метода математической индукции, что n² - 6n + 12 > 0 для любого n N.

Вариант №2

Задание 1. Лемма о вложенных промежутках.

Задание 2. Теорема о существовании sup ограниченного сверху числового множества.

Задание 3. Определение sup числового множества.

Задание 4. Покажите, что из того факта, что для х ≥ 0 неравенство n х ≤ у выполняется при всех n N, вытекает, что х = 0.

Задание 5. Найдите А В, А В, В А, А В, если А = {-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}, В = { 2; 3; 4; 5}.

Задание 6. Решите неравенство: |x + 2| + |x - 1| ≤ 12.

Задание 7. Найдите inf X и sup X, если X = {x_n: x_n = 0,5cos7n, n N}.

Задание 8. Приведите пример множества Х такого, что inf X = -1 и sup X = 2.

Задание 9. Пусть Х непустое, ограниченное множество, -Х – множество элементов вида –х (х Х). Докажите, что sup (–X) = - inf X.

Задание 10. Докажите с помощью метода математической индукции, что 6n - n² - 12 < 0 для любого n N.

Вариант №3

Задание 1. Лемма о вложенных промежутках.

Задание 2. Теорема о существовании inf ограниченного снизу числового множества.

Задание 3. Определение множества, ограниченного сверху.

Задание 4. Докажите, что X \ ( A ) = (X \ A ).

Задание 5. Найдите А В, А В, В А, А В, если А = {-1; 0; 1; 2; 3}, В = {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}.

Задание 6. Решите неравенство: | 2 х - 1| < | x – 1 |.

Задание 7. Найдите inf X и sup X, если X = { x_n: x_n = 3sin , n N}.

Задание 8. Приведите пример множества Х такого, что inf X = - 2 и sup X = 2.

Задание 9. Пусть Х, Y непустые, ограниченные множества, Z – множество элементов вида z = x + y ( х Х, y Y ). Докажите, что inf Z = = inf X + inf Y.

Задание 10. Докажите с помощью метода математической индукции, что 10 - 3n - n² ≤ 0 для любого n ≥ 2, n N.

Вариант №4

Задание 1. Лемма о вложенных промежутках.

Задание 2. Теорема о существовании sup ограниченного сверху числового множества.

Задание 3. Определение множества, неограниченного сверху.

Задание 4. Докажите, что X \ ( A ) = (X \ A ).

Задание 5. Найдите А В, А В, В А, А В, если А = { -1; 0; 1; 2; 3}, В = { -3; -2; -1; 0}.

Задание 6. Решите неравенство: | х + 2 | - | x – 3 | > -5.

Задание 7. Найдите inf X и sup X, если X = { x_n: x_n= - 2sin , n N}.

Задание 8. Приведите пример множества Х такого, что inf X = 0 и sup X = 10.

Задание 9. Пусть Х Y непустые, ограниченные множества, Z – множество элементов вида z = x + y ( х Х, y Y). Докажите, что sup Z = sup Х + sup Y.

Задание 10. Докажите с помощью метода математической индукции, что n² - 3n + 7 ≥ 0 для любого n N.

Вариант №5

Задание 1. Лемма о вложенных промежутках.

Задание 2. Теорема о существовании inf ограниченного снизу числового множества.

Задание 3. Определение ограниченного множества.

Задание 4. Докажите, что (А В) (В А) = Ø.

Задание 5. Найдите А В, А В, В А, А В, если А = { -1; 0; 1; 2; 3}, В = {0; 10; 20}.

Задание 6. Решите неравенство: | х² + 4 | + | x – 2 | < 8.

Задание 7. Найдите inf X и sup X, если X = {x_n: x_n = 5 + (-1)ⁿ , n N}.

Задание 8. Приведите пример множества Х такого, что inf X = 2 и sup X = 3.

Задание 9. Пусть Х, Y непустые, ограниченные множества положительных чисел, Z – множество элементов вида z = x  y ( х Х, y Y). Докажите, что sup Z = sup Х  sup Y.

Задание 10. Докажите с помощью метода математической индукции, что 2n - n² < 0 для любого n > 2, n N.

Вариант №6

Задание 1. Лемма о вложенных промежутках.

Задание 2. Теорема о существовании sup ограниченного сверху числового множества.

Задание 3. Определение множества, ограниченного снизу.

Задание 4. Пусть E= E , при каждом α A существует inf E_α = y_α и существует inf y_α = y₀. Показать, что y₀= inf E.

Задание 5. Найдите А В, А В, В А, А В, если А = (-5; 3), В = [ -2; 4].

Задание 6. Решите неравенство: | х² – 4 | + | x – 2 | < 8.

Задание 7. Найдите inf X и sup X, если X = { x_n: x_n= - 4 + (-1)ⁿ , n N}.

Задание 8. Приведите пример множества Х такого, что inf X = 3 и sup X = +∞.

Задание 9. Пусть Х, Y непустые, ограниченные множества положительных чисел, Z – множество элементов вида z = x  y (х Х, y Y). Докажите, что inf Z = inf Х  inf Y.

Задание 10. Докажите с помощью метода математической индукции, что 4 n² – 12 n + 9 ≥ 0 для любого n N.

Литература

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа : учеб. для студ. вузов, обуч. по естественнонауч. и техн. направлениям и специальностям : в 3-х т. / Л.Д. Кудрявцев.— М. : Дрофа, 2003.

2. Сборник задач по математическому анализу / Л.Д. Кудрявцев и [ др. ]; под ред. Л.Д. Кудрявцева., 2-е изд., перераб. и доп. — М. : Физматлит, 2003. - Т.1: Предел. Непрерывность. Дифференцируемость - Т.2: Интегралы. Ряды.

3. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа : учеб. / Г.М. Фихтенгольц: в 2-х ч. 4-е изд., стер. — М. : Лань, 2002.