4.4. Зв’язок між неперервністю та диференційованістю функцій

Теорема. Якщо функція диференційована в деякій точці , то вона в цій точці неперервна.

Доведення. Якщо функція диференційована в деякій точці , то згідно з означенням похідної при існує

.

В силу того, що границя змінної величини відрізняється від самої змінної на нескінченно малу величину , то маємо:

. (7)

Оскільки – постійна, то з властивостей нескінченно малих величин випливає, що обидва доданки в правій частині є нескінченно малі величини. Із (7) випливає, що . Тобто функція неперервна.

Наслідок. З наведеної теореми випливає, що неперервність функції є лише необхідною умовою диференційованості функції. Це означає, що в точках розриву функція не має похідних, тобто вона недиференційована.

Н

Рис. 4

еперервна функція може бути недиференційована.

Н

Рис. 3

априклад, функція неперервна в точці (Рис. 3.), але не має похідної в цій точці тому, що:

, .

Тобто границя залежить від способу прямування (Рис. 4).

4.5. Правила диференціювання

1. Похідна постійної величини С дорівнює нулю, тобто

.

Доведення. Дійсно, нехай y=C, тоді Δy=0 для будь-якого Δx, в тому числі і при Δx→0. Тоді, згідно з означенням похідної

,

що і треба довести.

2. Якщо функції u=u(x) і v=v(x) диференційовані в точці x, то похідна суми (різниці) функцій дорівнює сумі (різниці) похідних, тобто

.

Доведення. Згідно означення похідної

.

3. Якщо функції u=u(x) і v=v(x) диференційовані в точці x, то добуток цих функцій також має похідну, яка знаходиться за формулою

.

Доведення. Згідно означення похідної

4. Якщо функції u=u(x) і v=v(x) диференційовані в точці x і v(x)≠0, то добуток цих функцій також має похідну, яка знаходиться за формулою

.

Доведення. Знайдемо приріст частки функції:

.

Згідно означення похідної

5. Якщо і функції f та φ диференційовані своїх аргументів, то існує похідна по х складної функції , яка знаходиться за формулою

.

6. Якщо функція має обернену функцію і в точці похідна , тоді обернена функція диференційована в точці і її похідна знаходиться за формулою

або .

4.6. Похідні основних елементарних функцій

Похідна логарифмічної функції. Якщо , то .

Доведення. Нехай х довільна точка із (0,∞). Візьмемо приріст аргументу і знайдемо приріст функції

.

Тому

.

Звідси, за допомогою граничного переходу, використовуючи другу чудову границю, одержимо

,

де , .

Наслідок. При , маємо: .

2. Похідна показникової функції. Функція є оберненою до функції . Тоді, згідно правила диференціювання оберненої функції, знаходимо

Оскільки , то одержимо формулу .

Зокрема, для , маємо .

3. Похідна степеневої функції. Функція при x>0 може бути представлена у вигляді . Використовуючи правила диференціювання показникової та складної функцій, одержимо

.

Якщо x<0, то функцію можна представити інакше:

.

Тоді

.

Нехай . Вираз визначений тільки, коли . В цьому випадку

.

Таким чином приходимо до висновку: похідна степеневої функції може бути знайдена за формулою

для будь-яких α і x, для яких має зміст права частина цієї формули.

Приклад. Знайти похідну функції . Використавши формулу для похідної степеневої функції, дістанемо:

4. Похідні тригонометричних функцій. Для знаходження похідної від функції скористаємося формулою , першою чудовою границею і неперервністю функції :

Скориставшись тригонометричною тотожністю і правилом диференціювання складної функції, одержимо

Для знаходження похідної функції скористаємося формулою похідної частки двох функцій

.

Аналогічно

5. Похідні обернених тригонометричних функцій. Функція є оберненою для функції . Скориставшись формулою похідної від оберненої функції, одержимо:

Аналогічно функція є оберненою для функції . Тому

Функція є оберненою для функції . Тому

Аналогічно функція є оберненою для функції . Тому

6. Диференціювання функцій, заданих неявно. Якщо функціональну залежність між у та х задано неявно, тобто рівністю , тоді для знаходження похідної по х функції у треба продиференціювати тотожність , враховуючи, що у залежить від х, а потім розв’язати рівняння, яке одержали, відносно :

, .

Приклад. Знайти похідну функції у, яка задана рівнянням і обчислити її значення в точці (2;1).

Розв’язання. Диференціюючи обидві частини рівняння і враховуючи, що у залежить від х, одержимо , звідки .

Значення похідної при буде дорівнювати .

7. Диференціювання функцій, заданих параметрично. Нехай залежність у від х задана параметрично у вигляді

,

де t – параметр.

Якщо t одержить приріст Δ t, то х та у також одержать прирости, відповідно: , , причому при та . Тому

.

Таким чином, яка задана параметрично, знаходять за формулою

.

На закінчення основні правила та формули для знаходження похідних подамо у вигляді таблиці.

Таблиця правил та формули обчислення похідних

№ п/п	Функція у	Похідна	№ п/п	Функція у	Похідна	№ п/п	Функція у	Похідна
1	с	0	9			17
2	x	1	10			18
3	cu		11			19
4	u ± v		12			20
5	u∙v		13			21
6			14			22
7			15			23
8			16			24