4. Інші економічні задачі, в яких використовується поняття похідної

У практиці економічних досліджень широке застосування отримали виробничі функції, які використовуються для встановлення залежностей, наприклад, випуску продукції від витрат ресурсів, витрат виробництва від обсягу продукції, виторгу від продажу товару і т.д.

Розглянемо деякі характеристики для вищезгаданих виробничих функцій, пов’язаних з поняттям похідної.

1. Граничні і додаткові витрати виробництва. Нехай виробнича функція – функція витрат виробництва, що залежить від кількості продукції Q. Тоді маргінальними або граничними витратами виробництва MC називається границя

. (5)

Величина характеризує наближено додаткові витрати на виробництво ще однієї одиниці додаткової продукції. Дійсно, при де для граничних витрат можемо записати наближену рівність

, (6)

яка означає, що граничні витрати наближено дорівнюють додатковим витратам (приросту функції) на виробництво ще однієї одиниці додаткової продукції.

Приклад 3. Нехай . Тоді додаткові і граничні витрати, які пов’язані зі збільшенням випуску від Q до Q+1, обчислюються за формулами:

,

.

У табл. 1 наведено значення і при .

Наведені результати свідчать про близькість додаткових і граничних витрат.

2. Граничний виторг. Нехай U(Q) виторг від продажу Q одиниць товару.

Граничним виторгом називається границя

. (7)

3. Граничний продукт. Нехай виробнича функція встановлює залеж­ність випуску продукції у від витрат ресурсу х.

Граничним продуктом називається границя

. (8)

4. Граничні витрати, доход, прибуток

Означення 5. Граничними витратами (вартістю) називають додаткові витрати, пов’язані з виробництвом ще однієї додаткової одиниці продукції.

Аналогічно визначають маргінальні доход та прибуток.

Позначимо через , і витрати, доход та прибуток від виробництва одиниць виробленої та проданої продукції. Тоді:

Гранична вартість . (9)

Граничний доход

. (10)

Граничний прибуток

. (11)

4.3. Золоте правило економіки

Розглянемо однофакторну або одноресурсну виробничу функцію , яка задає обсяг вироблюваної продукції за одиницю часу в залежності від обсягу х витраченого ресурсу, яким часто може бути кількість живої людської праці, вираженої у вигляді людино-годин або кількості працюючих. Нехай кількість працівників фірми на даний час дорівнює n. Як правило, виробнича функція диференційовна, тому скориставшись формулою приросту функції при можемо записати

.

Якщо число n досить велике, то дана наближена рівність достатньо точна. Але що таке у даному випадку. Це не що інше, як додаткова продукція, вироблена новим працівником за одиницю часу. З другого боку похідну виробничої функції при в економіці називають граничною продуктивністю праці, на відміну від середньої, яка дорівнює .

Нехай v – ціна одиниці продукції, а p – заробітна плата нового працівника за одиницю часу. Тоді якщо , то доцільно найняти ще одного працівника, оскільки він приносить фірмі більше прибутку, ніж вона йому платить у вигляді зарплати. Це нескладне правило носить універсальний характер і називається золотим правилом економіки.