Міжнародні економічні відносини

Розділ 1. ЕЛЕМЕНТИ ФІНАНСОВОЇ МАТЕМАТИКИ

1.1. Арифметична прогресія та прості відсотки

Арифметична прогресія. Арифметичною прогресією називається числова пос­лідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює по­передньому члену, доданому до певного сталого для даної по­слідовності числа d, яке називається різницею прогресії.

У випадку d > 0 арифметичну прогресію називають зростаю­чою, а при – спадною.

За означенням арифметичної прогресії маємо , п  N.

Загальний член арифметичної прогресії. Можна показати, що загальний член арифметичної прогресії обчислюється за формулою

. (1.1)

Сума членів арифметичної прогресії . Для обчислення суми n перших членів арифметичної неважко дістати формули:

або . (1.2) Приклад 1. Фірма почала використовувати нову технологічну лінію вартістю 17000 грн., вартість якої буде зменшуватися кожного року на 1500 грн. Знайти зна­чення вартості цієї технологічної лінії після n років. При вар­тості 2000 грн. технологічна лінія буде не придатною для виробництва. Коли це станеться?

Розв'язування. Згідно з умовою задачі вартість лінії щоро­ку зменшується на 1500 грн., тому її вартість після першого, другого, третього років і далі буде: 17000–1500, 17000–21500, 17000–31500,..., або 15500, 14000, 12500 і т.д.

Ця послідовність значень вартостей утворює арифметичну прогресію з

а₁ = 15500, d = 14000–15500=–1500.

Отже,

а_n = а₁ + (п – 1)d = 15500 +(п–1)(–1500)= 17000 – 1500п,

де п — кількість років.

Тепер знайдемо значення п, при якому а_n = 2000. З рівності 2000=17000 – 1500п одержимо:

1500п=17000 – 2000  1500п = 15000  п = 10.

Отже, цю технологічну лінію можна використовувати 10 років.

Нарахування простих відсотків. Слово відсоток (процент) походить від латинського pro centum, тобто “на сотню”. З математичної точки зору 1% від А означає соту частину деякого числа А, як правило іменованого, а сам символ % означає . Наприклад:

6%=0,06, 6% від А дорівнює 0,06А.

Нехай Р – початкова сума капіталу або дисконт; R – відсоток або відсоткова ставка; n – кількість періодів нарахування в роках; – накопичена сума за n періодів, – прибуток або відсотковий платіж, тоді на основі формули (1.1) (формули загального члена арифметичної прогресії) легко дістати формули:

, або , або , (1.3)

де – річна відсоткова ставка (десятковий дріб).

Дійсно, оскільки при простих відсотках річний прибуток зростає на однакову величину , то послідовність значень капіталу буде: , , , …, . Звідси уже легко дістати формули (1.3).

Якщо період нарахування менший від року, то основні формули для нарахування простих відсотків мають вигляд:

або або , (1.4)

де t – довжина періоду в днях, К – кількість днів в році (360, 365, 366), m – період виражений у місяцях.

З формул (1.3), (1.4) легко дістати формули для обчислення дисконту Р, відсоткової ставки R, довжини періоду n чи і т.д.

Приклад 2. Нехай вкладено 5000 грн. під просту відсоткову ставку 10% річних на період 5 років. Знайти відповідну накопичену суму і прибуток.

Скориставшись формулами (1.3), дістанемо:

грн.,

грн.

Приклад 3. Нехай вкладено 5000 грн. під просту відсоткову ставку 10% річних. Знайти відповідну накопичену суму і прибуток. якщо відсотки нараховуються в кінці: а) кварталу, б) 9-го місяця, в) року.

Скориставшись формулами (1.3) дістанемо:

а) грн.,

грн.;

б) грн.,

грн.;

в) грн.,

грн..