2. Несобственные интегралы 2-го рода

Рассмотрим интеграл с конечными пределами

(4)

где подынтегральная функция f(x) обращается в бесконечность в некоторой точке . По определению можно представить интеграл (4) в виде следующей суммы

.

Поэтому, чтобы вычислить (4) с заданной точностью , выбираем  из условия

Затем по каким-либо квадратурным формулам приближенно вычисляем определенные интегралы

и

с погрешностью /4 каждый. Исходный интеграл будет равен сумме I₁ и I₁.

Пример. Вычислим с погрешностью =0,05 интеграл

(5)

Подынтегральная функция имеет разрыв при с=2. Представим (5) в виде суммы двух интегралов

	,

и выбираем  так, чтобы . Так, при интеграл I₂ удовлетворяет условию

Следовательно, при =0.1 I₂<0.028.

Учитывая полученную оценку интеграла I₂, вычислим интеграл

по квадратурной формуле с точностью до 0,022.

Во многих случаях приближенное вычисление интеграла (4) облегчается с помощью метода выделения особенностей, предложенного Л.В. Канторовичем. Идея этого метода состоит в следующем. Из подынтегральной функции f(x) выделяют некоторую функцию g(x), имеющую те же особенности, что и функция f(x), но элементарно интегрируемую на данном промежутке и такую, чтобы , т.е. функция не должна иметь особенности в точке х=с. Запишем (4) в виде

(6)

Первый интеграл в (6) берется аналитически, а второй вычисляется численно по квадратным формулам.

Подбор функции g(x) производится различным образом в зависимости от конкретного вида f(x). Рассмотрим правило построения такой функции для f(x), имеющей вид

где - непрерывная функция вместе со своими N производными. Разложим функцию F(x) в степенной ряд в окрестности точки х=с:

и удержим столько слагаемых, чтобы выполнялось условие

(7)

Тогда интеграл (6) можно записать в виде

,

(8)

причем первый интеграл в (8) берется аналитически

а второй, в силу условия (7), можно найти численно, применив одну из известных квадратных формул. Это возможно, так как подынтегральная функция не имеет особенности в точке х=с и непрерывна вместе со своими N производными.