15.2. Енергія магнітного поля постійного струму. Власна і взаємна індуктивності.
Енергія магнітного поля в об’ємі визначається виразом
Здійснюючи перетворення цього співвідношення відповідно до формули
отримаємо:
Для окремого контуру з струмом перший доданок у правій частині цієї формули дорівнює нулю. Дійсно, відповідно до теореми
справедливі формули
При
цьому вираз
під інтегралом
пропорційний
і при інтегруванні по поверхні сфери з
нескінченно великим
радіусом обертається
в нуль. Таким чином,
або, з огляду на рівняння і виразу
де
і
-
елементи нормального перетину і довжини
контуру з струмом,
остаточно одержуємо:
(1.44)
Використовуючи теорему Стокса, знаходимо, що
де
- повний магнітний потік, утворюваний
струмом,
що тече у контурі і пронизує
поверхню
,
обмежену цим контуром.
Відповідно до останньої формули вираз (1.44) приймає вигляд:
(1.45)
оскільки
потік
пропорційний струму
,
що
його створює , тобто
Коефіцієнт
пропорційності
між пронизуючим
контур магнітним потоком і струмом,
що
протікає
по контуру і створює цей потік,
називається коефіцієнтом самоіндукції
(індуктивністю
контуру).
(1.46)
Вираз (1.46) можна переписати в наступному вигляді:
З останнього виразу слідує, що індуктивність контуру визначається геометричною формою провідника і магнітною проникливістю середи.
При незмінній величині струму енергія зростає зі збільшенням індуктивності контуру, а при незмінній величині магнітного потоку енергія зростає зі зменшенням індуктивності контуру.
Якщо
система складається з
замкнутих контурів (рис.15), то, крім
власного потоку, через кожний із контурів
будуть проходити потоки, утворювані
струмами,
що протікають в інших
контурах.
Рис.15. Взаємні і власні магнітні потоки контурів.
На основі формул (1.44) і (1.45) енергія такої системи
(1.47)
Потік
пронизуючий
-й
контур, лінійно зв'язаний
із струмами
усіх контурів,
(1.48)
тут
- власний потік
-го
контуру;
і
- його індуктивність і струм;
- потік, що пронизує
-й
контур і створюваний
струмом
,
що протікає в
-му
контурі.
Коефіцієнт пропорційності
називається коефіцієнтом взаємної індукції або взаємною індуктивністю.
Підставляючи вираз (1.48) у (1.47), одержуємо:
(1.49)
Покажемо,
що
,
(де
).
Магнітний потік, що пронизує
-й
контур і створюваний
струмом,
що протікає у
-му
контурі,
Водночас
або
З
порівняння виразів
для
знаходимо:
Так як останній вираз симетричний щодо індексів і , то, очевидно,
що відповідає принципу взаємності. Позначимо коефіцієнт взаємної індукції системи з двох контурів
а коефіцієнт власної індуктивності кожного з цих контурів
Коефіцієнти
індуктивності
і взаємоіндукції
є
інтегральними параметрами обмеженої
області,
у якій локалізоване магнітне поле,
утворюване
струмом,
що протікає по розташованому в цій
області
провіднику.
У окремому випадку відповідно до виразу (1.48) енергія поля двох контурів
Знак плюс перед третім членом правої частини цієї формули ставлять у тому випадку, коли магнітні потоки контурів складаються, а знак мінус - коли вони віднімаються (направлені назустріч друг другу).
Для котушки з розташованими впритул витками, по яких протікає той самий струм в одному напрямку, вирази (1.49) і (1.46) мають вигляд:
тут
- загальна
(еквівалентна) індуктивність системи
з
витків;
- потік, утворюваний
струмом
і пронизуючий
усі витки. Величина
називається потокозчепленням.