Глава III о процессах решения математических задач

…§10. Анализ цели и ситуации как уяснение доказываемой теоремы и условий. Результаты опытов, изложенных в предшествующих главах, ознакомили нас с важными эвристическими методами мышления. То, что мы изучали в предшествующей главе как анализ цели и анализ ситуации, играет в сходных формах, при решениях математических задач, такую роль, которую нельзя переоценить.

Здесь есть прежде всего анализ цели в форме уяснения того, что надо доказать. Определяющие фазы нередко возникают в силу того, что решающий спрашивает: «Что, собственно, означает то, что требуется доказать? Как это можно было бы выразить иначе? Какие следствия вытекают из доказываемой теоремы? Следствия, из которых можно было бы при обратном ходе доказать эту теорему?» Другими словами, важные фазы решения часто возникают в качестве следствий из того, что требуется доказать. Это «изменения центра» в цели, в том, что требуется доказать (не смешивать с изменением центра в предмете задачи, как они имеют место в примерах, рассмотренных Вертгаймером). Они отвечают не на вопрос: «Как надо понять предмет, к которому относится задача, чтобы из этого можно было доказать то, что требуется?», но на вопрос: «Как надо понять то, что требуется доказать, чтобы, исходя из данного предмета, можно было доказать это?»

Из этой формулировки ясно, что уяснение цели, вообще говоря, не есть любое правильное следствие из доказываемой теоремы. Например, из теоремы о бесконечном ряде простых чисел правильным следствием будет не только нужное для доказательства утверждение, что для каждого простого числа существует большее простое число, но и нечто вроде такого вывода: «Следовательно, Леман неправ, что существует лишь конечное количество простых чисел». От таких не относящихся к задаче уяснений цели ни один разумный человек не будет ожидать приближения к искомому доказательству заданной теоремы. Уяснение цели имеет внутри процесса решения вполне определенную функцию: трансформировать первоначальную «не поддающуюся доказательству» теорему в такую теорему, которую можно доказать данными средствами (при данных условиях). Анализ цели выполняется, следовательно, с точки зрения «данных» задачи точно так же, как указанные Вертгаймером изменения центра условий происходят с точки зрения доказываемой теоремы.

Кроме того, надо отметить, что «уяснение цели» вполне аналогично тому «анализу положения», которое в школе рекомендуется при задачах на построение. Точно так же, как там построение считают уже выполненным, чтобы усмотреть связанные с ним отношения и исследовать возможность их построения, так и при уяснении цели теорему считают уже доказанной и выводят из нее следствия, чтобы потом посмотреть, нельзя ли эти следствия доказать.

Второй метод, всюду являющийся дополнением к первому, есть анализ ситуации в форме уяснения условий (данных)¹. При решении математических задач возможно несколько различных типов анализа ситуации:

1. Выведение следствий из данных (ср. обычное напоминание учителей математики: «используй данные»).

2. Изменение центра в предмете задачи (это изменение центра, о котором говорит Вертгаймер. Его можно рассматривать как обратимое следствие из условий задачи или, лучше, как эквивалентный первоначальному предмету задачи; поэтому он есть точное дополнение к результату уяснения цели, которое дает эквивалентную цель задачи).

3. Простое прочитывание определенных положений на чертеже (наглядно воплощающем условия).

4. Случаи, когда чертеж вызывает в памяти относящиеся к доказательству положения.

5. Использование данных возможностей путем проведения вспомогательных линий.

Что уяснение условий протекает не вслепую, что решающий охотится не за всяким следствием из условий, это видно, как и при уяснении цели, из того, что всегда возможно бесконечное количество таких уяснений, вытекающих из данных условий, которые не встречаются и даже не принимаются во внимание ни в одном процессе решения, даже и в сводящемся к «вихрю идей». Короче, анализ ситуации выполняется под углом зрения задачи в целом, в особенности под углом зрения цели. Сфера его ограничена целым.

Кроме того, совершенно ясно, что каждое конкретное уяснение цели уже заключает в себе анализ условий – по той простой причине, что всякая конкретная цель уже заключает в себе конкретные условия. Конечно, иначе обстоит дело при таких прямых уяснениях цели, как, например: «или а, или b» означает то же самое, что «если не а, то b».

Другими, хотя и более специальными, эвристическими методами при решении математических задач являются, например, следующие: рассмотрение какого-либо подходящего частного случая, выполнение дающего наглядную опору рисунка, поиск непрямого доказательства (доказательства от обратного) и т.д.

§11. Дидактические следствия. Если я хочу доказать кому-либо определенную теорему, я могу действовать весьма различным образом в зависимости от того, буду ли я при этом исходить больше от данных или же от того, что требуется доказать. Крайние случаи таковы:

А. Я пытаюсь, если только это возможно, развернуть доказательство сверху, от того, что надо доказать; я спрашиваю: «Из чего могло бы следовать доказательство, что для этого необходимо?»

В. Или я начинаю снизу и спрашиваю: «Что мне дано?» – то есть я развиваю из данных мне условий всевозможные следствия, которые потом удивительным образом смыкаются в доказательство теоремы.

Первый путь я назвал бы «органическим». Здесь из «функции» (функционального значения) возникает воплощающая ее «материя», помогающие средства. Второй, обратный путь – «механический».

Почему «органический» – «механический»? «Органическое» начало глаза есть светочувствительный участок кожи, «органическое» начало паровой машины – хлопающая крышка чайника, движение твердого тела в результате действия пара. Этой идее подчинено все дальнейшее как ее постепенная разработка и дифференцировка. «Механически» протекал бы процесс в том случае, если бы природа составляла глаз из его многочисленных высокоразвитых частей и вспомогательных аппаратов или если бы человек «изобрел» паровую машину путем соответствующей комбинации колб, трубок, вентилей и т.п.

Обучение математике должно, насколько это возможно, идти органическим путем. Конечно, не лишен известной привлекательности тот путь, на котором из темноты долгих приготовлений внезапно вспыхивает искра доказательства, но этот путь неестествен, т.е. чужд естественному процессу возникновения нового. Хотя, как мы видели, при поисках доказательства часто приходится идти «снизу», но даже и такое уяснение данного отнюдь не может протекать без отношения к тому, что требуется. Во всяком продуктивном уяснении условий содержатся, по крайней мере как нечто определяющее сферу, определенные «органические» фазы решения.

Р азличие между «органическим» и «механическим» путем решения мы наглядно покажем на одном особенно простом математическом доказательстве.

Требуется доказать, что точка пересечения перпендикуляров, восстановленных из середины сторон треугольника, есть центр описанного круга.

Органический путь. Что значит – центр описанного круга? Очевидно, следующее: точка, одинаково удаленная от трех вершин, т.е. МА=МВ=МС. Это и надо доказать.

МА, АD и МВ, ВD суть стороны треугольников МАD и МВD. Следовательно, надо доказать, если это возможно, что эти треугольники равны друг другу. Но АD=ВD; далее МDА=МDВ=α (по условию); далее МА=МВ; следовательно, треугольники равны; следовательно, МА=МВ и т.д. (рис.9).

Механический путь. Соединим точку пересечения высот М с тремя вершинами А, В и С и рассмотрим прежде всего треугольники МАD и MBD. Здесь АD=ВD; далее МDА=МDВ=90° (по условию), далее МD=МF. Следовательно, треугольники равны друг другу, следовательно, МА=MВ и т.д.

Но это значит, что М есть центр описанного круга, что и требовалось доказать.

Мы видим, второй путь обратен первому. Конечно, «механический» путь короче, экономнее с точки зрения изложения. Но «органический» путь родственнее естественному ходу продуктивного установления новой истины, по крайней мере в принципе, так как, конечно, при таком легком доказательстве, какое мы привели, оба пути приблизительно одинаково «естественны».

Резюмирую: с дидактической точки зрения рекомендуется, даже за счет краткости и «изящества», по возможности идти «органическим» путем, делать возможно меньше немотивированных уяснений того, что «дано».