Контрольное задание 3.

1) Найти градиент скалярного поля в точке .

2) Найти наибольшую скорость возрастания поля в точке .

3) Найти производную функции в точке в направлении, перпендикулярном к линии уровня, проходящей через данную точку.

4) В каких точках градиент скалярного поля :

а) параллелен оси OZ; б) перпендикулярен оси OZ; в) равен 0?

5) Найдите угол между градиентами скалярного поля в точках и

§5. Векторные линии поля.

Определение 4. Векторными линиями векторного поля называются такие линии, у которых касательная в каждой точке направлена вдоль заданного в этой точке вектора поля.

В физике это понятие для конкретных полей имеет физический смысл, например, векторные линии поля тяготения, электрического и магнитного полей - это силовые линии, а поля скоростей – линии тока, т.е. линии, по которым движутся частицы поля.

Пусть векторная линия, проходящая через точку , описывается уравнениями , где t – параметр. Из условия коллинеарности касательного вектора и вектора поля в произвольной точке дифференциальное уравнение этой линии имеет вид: , (2)

где λ – некоторое число.

Уравнение (2) - это дифференциальное уравнение векторных линий в векторной форме.

В пространстве в декартовой системе координат: , . Тогда векторное уравнение (2) эквивалентно системе дифференциальных уравнений:

, (3)

Система (3) – это симметричная форма системы дифференциальных уравнений. Для её решения применяются интегрируемые комбинации, с привлечением свойств равных дробей. Для плоского поля система имеет вид

. (4)

Определение 5. Поверхность, состоящая из векторных линий, проведённых через каждую точку некоторой замкнутой линии l, называется векторной трубкой.

В следующих примерах для данных векторных полей найдём уравнения векторных линий и построим их.

Пример 7. Векторное поле .

Решение. Поле, у которого , определено на всей плоскости XOY,следовательно, через каждую точку плоскости проходит хотя бы одна векторная линия. Составим дифференциальное уравнение векторных линий: (см. (4)). Это уравнение с разделяющимися переменными. Решим его: , или - уравнения векторных линий. При С=0 это точка О(0,0), при С>0 – концентрические окружности.

Д

Рисунок 4

ля определения направления движения по векторной линии материальной точки, попавшей в векторное поле, рассмотрим проекцию вектора на ось OX. Это . Там, где , составляет с осью OX острый угол, где - тупой. Учитывая, что вектор поля направлен по касательной к векторной линии, и векторные линии непрерывны, достаточно выяснить, что в первой четверти движение поля происходит по часовой стрелке (см.Рисунок 4).

Ответ: - уравнения векторных линий.

Пример 8. Векторное поле .

Р ешение. Поле, у которого , определено на всей плоскости XOY Составим дифференциальное уравнение векторных линий: . Решим его:

Рисунок 5

. Рассмотрим случай . Тогда , т.е. ось OY тоже является векторной линией. Определим направление движения поля. Т.к. то вектор в любой точке составляет острый угол с осью OY (см.Рисунок 5).

Ответ: - уравнения векторных линий.

Пример 9. Найти векторные линии поля .

Решение. Дифференциальные уравнения векторных линий: (см. (3)). Из уравнения следует - первый интеграл системы. Получили семейство плоскостей, проходящих через ось OY. Вторую интегрируемую комбинацию составим следующим образом.

Умножим числители и знаменатели системы соответственно на : .

Складывая, по свойству равных дробей получим:

, или - ещё один первый интеграл системы. - семейство сфер радиуса .

Ответ: векторные линии задаются системой (пересечением пар поверхностей):