§3. Производная по направлению скалярного поля.
Пусть
-
скалярное поле, заданное в области
.
- единичный фиксированный вектор. М
– фиксированная
точка,
.
-
произвольная, отличная от М,
точка из G,
такая, что
вектор
коллинеарен
.
Пусть
-
величина направленного отрезка
(равная
,
если
и равная -
,
если
).
Определение 2.
Число
называется производной скалярного
поля в направлении
в
точке М и
обозначается символом
.
Производная
скалярного поля в направлении
в точке М
равна скорости
изменения поля в этой точке в данном
направлении. Если
,
то при перемещении из точки М
в направлении
значение поля (функция
)
возрастает, если
- убывает.
Пусть поле
задано в декартовой системе координат
и
-
единичный вектор данного направления.
Тогда производная скалярного поля в
направлении
в точке M
вычисляется
по формуле:
=
+
,где α,β,γ – углы, образуемые вектором
с соответствующими осями координат и
.
Если
,
то
,
,
,
Для плоского поля
производная по направлению вычисляется
по формуле:
=
+
=
+
.
Пример 3. Установить
характер изменения поля, заданного
функцией
в точке
в направлении от А
к точке
.
Решение.
,
,
.
Значения производных
в точке А:
=
+
Ответ:
Т.к.
поле убывает в направлении
.
Пример 4. Найти
производную функции
в точке
в направлении, составляющем угол
с положительным направлением оси ОХ.
Решение.
Для плоского поля
=
+
.
Значения производных
в точке M:
,
.
Ответ:
Контрольное задание 2.
Найти производную функции:
1)
в точке
в направлении вектора
,
составляющем угол
с
положительным направлением оси ОХ;
2)
в точке
в направлении вектора
,
где
;
3)
в точке
в направлении вектора
;
§4. Градиент скалярного поля.
Определение 3.
Градиентом
скалярного поля
называется вектор-функция
,
(1)
координатами которой являются соответствующие частные производные данной функции.
Если
-
единичный вектор данного направления,
то из формулы (1) следует, что производная
по направлению
-
это скалярное произведение векторов
и
,т.е
.
Но
=
.
Тогда
,
т. к.
.
Здесь
- угол между вектором градиента в данной
точке и вектором
.
О
Рисунок 3
1. Вектор
в данной точке указывает направление
наибольшего роста поля (функции
)
в этой точке. При этом
- наибольшее значение производной по
направлению в точке M.
(Таким образом, вектор
не зависит от выбора системы координат,
а его модуль и направление в каждой
точке определяются функцией
).
2. Градиент скалярного поля в точке М ортогонален к поверхности (линии) уровня поля, проходящей через точку М.
3. Если
- поле постоянно, то его градиент равен
0.
4. Справедливы формулы:
а)
;
б)
в)
;
г)
д)
,
где U
и V
– скалярные поля.
е)
.
Пример 5.
Найти градиент электростатического
поля
,
где е
- заряд,
-
расстояние от данной точки до заряда.
Решение. Данному полю принадлежат все точки пространства за исключением начала координат, где U обращается в бесконечность.
По определению: . Вычислим частные производные:
.
Ответ:
.
Пример 6. Найти
наибольшую скорость возрастания функции
в точке
.
Решение.
Направление наибольшего возрастания
поля указывает вектор градиента этого
поля.
.
Вычислим значения
частных производных в точке M:
Наибольшая скорость
возрастания
равна наибольшему значению производной
по направлению точке M
Ответ: Наибольшая
скорость возрастания функции
