18

Глава 12. Несобственные интегралы и интегралы, зависящие от параметра

12.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.

Определение 5 . Пусть функция определена на промежутке и интегрируема по Риману на любом отрезке .Если существует (конечный) предел

,

то его называют несобственным интегралом и обозначают

.

Таким образом

(30)

В этом случае говорят также, что несобственный интеграл (30) сходится на промежутке , а функция называется интегрируемой (в несобственном смысле) на промежутке . Если же предел не существует, то говорят, что интеграл расходится.

Замечание 1. Если , то интегралы и сходятся или расходятся одновременно, т.к. то и существуют одновременно.

Замечание 2. Если имеет первообразную на промежутке , то

Замечание 3. Очевидно, что выполняется свойство линейности

, если интегралы и существуют.

Аналогично определяются несобственные интегралы .

Поэтому дальше будем рассматривать только интеграл (30).

Теорема 27. (Критерий Коши). Для того, чтобы несобственный интеграл (30) был сходящимся необходимо и достаточно, чтобы

□ Сходимость интеграла существованию конечного предела . Но в силу критерия Коши для функции при для существования предела необходимо и достаточно, чтобы

Тогда последнее неравенство можно переписать и виде:

■ Теорема 28. (Признак сравнения). Пусть

а) и определены на , интегрируемы на ;

б) при ;

в) несобственный интеграл – сходится.

Тогда сходится и .

Т.к. сходится, то по теореме 27 выполняется: ,

Тогда проверим критерий Коши для :

■

Определение 6. Несобственный интеграл (30) называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл

(31)

Если интеграл (30) сходится, а (31) расходится, то говорят, что интеграл (30) сходится условно. Из теоремы ясно, что если (30) абсолютно сходится, то и просто сходится.

Теорема 29. (Основной критерий сходимости). Пусть при , тогда для сходимости интеграла (25) необходимо и достаточно, чтобы . (32)

Функция неубывает при , т.к. по условию . Поэтому для сходимости интеграла (30) , т.е. для существования предела необходимо и достаточно, чтобы была ограничена сверху, т.е. при ■

Теорема 30. Пусть и возрастающая последовательность, сходящаяся к , тогда чтобы для сходимости интеграла (1), необходимо и достаточно, чтобы сходился числовой ряд

. (33)

Рассмотрим последовательность частичных сумм ряда (33). Очевидно, что

Последовательность неубывает, т.к. при и .

Т.к. , то .

Тогда (34)

Если (30) сходится, то в силу предыдущей теоремы выполняется неравенство (32). Из неравенств (32) и (34) следует, что при . Поскольку неубывающая последовательность, то она сходится ряд (33) сходится.

Если ряд (33) сходится, то последовательность его частичных сумм ограничена сверху . Очевидно и из (34) что (32) выполняется при . В силу теоремы 28 интеграл (30) сходится. ■

Теорема 31. (Интегральный признак сходимости числового ряда). Пусть невозрастающая положительная функция, определенная при ( –натуральное число). Тогда ряд

(35)

и интеграл сходятся или расходятся одновременно.

В силу условий теоремы при . Интегрируя неравенство почленно на отрезке , получим .

Из этих неравенств, в силу признака сравнения для числового ряда следует, что ряд (35) сходится или расходится одновременно с рядом .

С другой стороны, в силу теоремы (28) ряд сходится или расходится одновременно с интегралом . ■

Сформулируем теорему, которая позволяет в некоторых случаях установить условную сходимость несобственных интегралов.

Теорема 32. (Признак Дирихле). Пусть выполняются следующие условия:

а) Функция интегрируемая по Риману на любом отрезке

б) ;

в) Функция при непрерывно дифференцируемая и монотонно убывая при . Тогда – сходится.

Рассмотрим . По условию теоремы ограничена , т.е. (из условия (а)). Заметим, что .

По формуле интегрирования по частям, имеем:

. (36)

Рассмотрим интеграл в правой части и оценим, учитывая, что по условию (в) монотонно убывает, а следовательно .

Следовательно, из теоремы 28 несобственный интеграл сходится абсолютно, а значит и просто сходится. Следовательно, существует конечный предел .Т.к. и при , то .

С ледовательно, в правой части (36) пределы всех слагаемых_. ■

Пример38. , т. е. данный интеграл сходится.

Пример 39. , но придел функции при не существует, следовательно, интеграл расходится.

Пример 40. ; интеграл расходится, так как

.

Пример 41. , – некоторое число.

1. Если α≠1, то для любого

2. Если , то для любого

.

Таким образом, данный интеграл сходится при и расходится при .

Заметим, что в рассмотренных примерах вычисление несобствен­ного интеграла было основано на его определении. Теперь воспользуемся признаками сходимости.

Пример 42. Исследовать сходимость .

□ Сравним подынтегральную функцию с функцией на промежутке . Очевидно, что

.

Но интеграл сходится, так как . Следовательно, согласно признаку сравнения сходится и данный интеграл. ■

Пример 43. Исследовать сходимость .

□ Сравнивая подынтегральную функцию , с функцией на промежутке , имеем

.

Но интеграл расходится, так как (пример 39). Следовательно, согласно признаку сравнения и данный интеграл расходится.■

Пример 44. Интеграл по признаку Дирихле сходится, т.к.: а) , б) непрерывно дифференцируемая и монотонно убывает при .Но он сходится условно. Рассмотрим ряд , где .

Ряд расходится, т.к. . Но ряд – расходится. Отсюда в силу теоремы 29 интеграл – расходится.

Заметим, что если функцию доопределить в точке единицей, т.е. , то она будет непрерывна на . Тогда также сходится условно.

Несобственные интегралы от неограниченных функций.

Определение 7. Пусть определена на промежутке , неограниченна на этом промежутке и интегрируема по Риману на . Если конечный предел , то его называют несобственным интегралом и обозначается (37)

Говорят также, что несобственный интеграл (37) сходится на отрезке , а называют интегрируемой в несобственном смысле на . Если предел (37) не существует, то говорят, что интеграл расходится.

Замечания. 1) Если , то интегралы и сходятся или расходятся одновременно, т.к. , то пределы и существуют одновременно.

2. Формулу (37) иногда записывают в виде

2. Если имеет первообразную на , то

2. Аналогично определяется несобственный интеграл , если определена на , неограниченна на нем и интегрируемая .

.

2. Если определена на и сходятся и , то полагают по определению

.

Имеют место следующие теоремы, которые доказываются также, как соответствующие теоремы для несобственных интегралов с бесконечными пределами.

Теорема 33. (Критерий Коши). Для того чтобы несобственный интеграл (37) был сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы

Теорема 34. (Признак сравнения). Пусть и несобственный интеграл сходится, тогда сходится и интеграл .

Из этой теоремы следует, что если интеграл сходится абсолютно, то он сходится.

Теорема 35. Пусть , тогда для сходимости интеграла (7) необходимо и достаточно, чтобы существовало такое , что при имело место неравенство, т.е.

.

Пример 45. , – некоторое число.

1. Если , то

2. Если , то

.

Ясно, что при этот интеграл существует как интеграл Римана, при он сходится, а при расходится.

Понятие главного значения несобственного интеграл. Пусть определена на всей числовой прямой и интегрируема по Риману на любом отрезке .

Определение 8. Главным значением несобственного интеграла с пределами называется предел (если он существует)

Пример 46. Легко проверить, что расходится. Найдем главное значение.

Определение 9. Пусть определена на кроме того и интегрируема на любом отрезке и

Главным значением несобственного интеграла от разрывной в точке функции называется предел

_{Пример 47. Интеграл – расходится, но}