5.2. Метод Фурье для уравнения колебаний
Рассмотрим общую схему метода разделения переменных (Фурье) на примере краевой задачи для неоднородного уравнения колебаний [3].
Сформулируем краевую задачу для одномерного уравнения колебаний
,
(5.18)
,
(5.19)
.
(5.20)
Задача состоит в отыскании функции
,
удовлетворяющей уравнению (5.18) и условиям
(5.19), (5.20) в области
- с границей
.
Решим методом Фурье задачу (5.18) – (5.20).
Будем искать нетривиальные решения в
виде
,
Подставив предполагаемую форму решения
в уравнение (5.18) и разделив переменные,
получим
Поэтому функции
и
должны быть определены как решения
дифференциальных уравнений
(5.21)
(5.22)
Граничные условия (5.20) дают:
.
Откуда заключаем, что функция должна удовлетворять дополнительным условиям
.
(5.23)
Итак, мы приходим к задаче о собственных
значениях дифференциального оператора,
так называемой задаче Штурма-Лиувилля:
найти те значения параметра
,
при которых существуют ненулевые решения
граничной задачи (5.21), (5.23) [3].
Рассмотрим различные случаи, когда
или
.
При
общее решение ОДУ (5.21)
.
Граничные условия (5.23) дают
,
так как
,
т.е. вспомогательная задача не имеет
нетривиальных решений.
При
общее решение ОДУ (5.21)
.
Граничные условия (5.23) дают
.
При
общее решение ОДУ (5.21) может быть записано
в виде
.
Граничные условия (5.23) дают
.
Так как
,
то
и поэтому
или
.
Таким образом, нетривиальные решения задачи (5.21), (5.23) возможны при собственных значениях
,
соответствующие собственные функции
.
Эта задача имеет счетное множество
собственных функций
и собственных значений
,
причем все
.
Кроме того, все собственные функции
попарно ортогональны между собой и их
можно нормировать, т.е. считать
ортонормированными и систему
- полной [4].
Примечание 1. Например, в качестве нормы ||.|| - может быть выбрана норма в классе функций, интегрируемых с квадратом, т.е.
Ортонормируемость
системы функции
в
метрическом пространстве с выбранной
нормой понимается как равенство нулю
скалярного произведения
,
при
всех
и
для любого n.
Для отыскания функций
построим последовательность решений
задач Коши
,
(5.24)
(5.25)
где
.
(5.26)
Тогда
.
(5.27)
Решение задачи (5.18) – (5.20) запишется в виде
.
(5.28)
Замечание
5.1.1. Для решения общей первой
краевой задачи уравнения колебаний
(5.7), (5.11), (5.12) ее можно привести к краевой
задаче с однородными граничными
условиями. Для этого построим функцию
для которой выполняются граничные
условия (5.12). Например, можно взять
функцию, линейную относительно переменной
:
.
Условия (5.12) дают
.
Следовательно
.
Теперь введем новую неизвестную функцию
,
полагая, что
.
Подставляя далее
в (5.7), (5.11), (5.12) получаем краевую задачу
для определения
:
;
;
,
которая аналогична задаче (5.18)—(5.20).
Примечание 2. Для
обеспечения сходимости ряда решений
(5.28) и рядов, получаемых двукратным
почленным дифференцированием этого
ряда по
и
,
установим ограничения на функции
и
.
Теорема 5.1.
[1] Если
,
кроме того
имеет третью, а
- вторую кусочно-непрерывную производную
на
и выполняются условия согласования
.
Тогда сумма ряда (5.28) является классическим
решением задачи (5.18) – (5.20).
Вообще говоря, условия теоремы 5.1 могут быть ослаблены. В этом случае ряд (5.28) является так называемым обобщенным решением краевой задачи [4]. Тогда сходимость ряда решений и его производных следует понимать в смысле сходимости в среднем или слабой сходимости.
Решения задач о свободных колебаниях ограниченной струны или стержня с однородными граничными условиями второго или третьего рода могут быть построены в виде функциональных рядов аналогичной структуры, отличающихся лишь решениями соответствующих вспомогательных задач Штурма-Лиувилля.