Практическое занятие № 5

Тема занятия: Метод Фурье для линейных уравнений в частных производных второго порядка

5.1. Элементы общей теории уравнений в частных производных (учп)

Определение 5.1. Будем понимать под уравнением в частных производных второго порядка соотношение вида:

(5.1)

Здесь , , - обозначения частных производных первого и второго порядка функции по соответствующим переменным .

Определение 5.2. Классическим решением уравнения (5.1) назовем функцию непрерывную и имеющую непрерывные частные производные, входящие в (5.1) и обращающую равенства (5.1) в тождество относительно .

Определение 5.3. Если известная функция линейна относительно искомой функции и ее производных, то уравнение (5.1) называется линейным.

УЧП второго порядка с переменными коэффициентами

, (5.2)

невырожденным линейным преобразованием

(5.3)

приводятся к так называемому каноническому виду, в соответствии со знаком выражения, называемого дискриминантом

.

Возможны следующие случаи:

1. (5.4)

(5.4) – уравнение гиперболического типа.

2. (6.5)

(5.5) – уравнение параболического типа.

3. (5.6)

(5.6) – уравнение эллиптического типа.

В качестве примеров УЧП уравнений математической физики соответствующих типов приведем:

1. гиперболический тип

- (5.7)

уравнение малых поперечных колебаний математической струны или же малых продольных колебаний стержня [1]. В двумерном случае

- (5.8)

уравнение малых поперечных колебаний мембраны [1];

2. параболический тип

- (5.9)

уравнение теплопроводности или уравнение диффузии [1],

где - -мерный оператор Лапласа;

3. эллиптический тип

- (5.10)

уравнение Пуассона описывает установившиеся (стационарные) процессы колебаний или распространения тепла [1].

Еще один пример - уравнение Гельмгольца [1]

.

Для корректной постановки задач о решении УЧП приведенных типов, рассмотрим два рода задач: задачи Коши и краевые задачи [2].

Формулировка задачи Коши: нужно найти решение уравнения (5.7), (5.8) для (здесь - ограниченная область с гладкой границей ) при начальных условиях.

(5.11)

Формулировка краевой задачи: пусть уравнения (5.7), (5.8) рассматриваются в цилиндре (знак - обозначает декартово произведению множеств). Нужно найти функцию , удовлетворяющую уравнениям (5.7) или (5.8), начальным условиям (5.11) ,а также одной из следующих групп краевых условий:

(5.12)

(5.13)

(5.14)

, (5.15)

, (5.16)

, (5.17)

где - боковая поверхность цилиндра , - внешняя нормаль к , - нормальная производная функции .

Получим первую (5.7), (5.11), (5.12) или (5.8), (5.11), (5.15), вторую (5.7), (5.11), (5.13) или (5.8), (5.11), (5.16), и третью (5.7), (5.11), (5.14) или (5.8), (5.11), (5.17) - смешанную краевую задачу для УЧП.

Физически условия (5.11) соответствуют заданию начальных отклонений и начальных скоростей точек струны или мембраны. Краевые условия (5.12) означают, что концы струны движутся по заданному закону, (5.13) – по концам струны приложены определенные силы. (5.14) – на концах струны присутствуют и упругие силы.

Для уравнения (5.9) ставятся аналогичные задачи, только в начальных условиях (5.11) отсутствует производная по . Для уравнения (5.10) задается только краевое условие одного из трех видов (5.15—5.17).