Поскольку интеграл – это сумма, то формулу (2.3) можно записать в виде уравнения

K_i = , (2.4)

где – интеграл по объему i-го звена.

Кинетическую энергию произвольной точки A_i, принадлежащей i-му звену, вычисляем по формуле

dK_i = , (2.5)

где – скорость точки A_i в базовой системе координат; – масса точки A_i.

Поскольку = , где = ( , , , 1)^T – радиус-вектор точки A_i в базовой системе координат, то

dK_i = . (2.6)

Согласно (1.36)

= S_i ,

где = ( , , , 1)^T – радиус-вектор точки A_i в i-й системе координат.

Из (1.36) следует, что

= . (2.7)

И тогда формулу (2.6) преобразуем к виду

dK_i = = . (2.8)

Преобразуем (2.8), используя следующие сведения:

1) дана матрица А:

A = ,

следом матрицы А называется величина

trA = a₁₁ + a₂₂ + a₃₃ + a₄₄; (2.9)

2) для двух векторов a = и b = верны:

скалярное произведение векторов

(a, b) = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ + a₄b₄

и выражение

(ab^T) = [b₁, b₂, b₃, b₄] = ,

следовательно,

tr(ab^T) = (a, b); (2.10)

3) (AB)^T = B^TA^T. (2.11)

Используя свойства (2.10) и (2.11), уравнение (2.8) можно записать в виде

dK_i = = =

= . (2.12)

Полная кинетическая энергия i-го звена определяется в виде интеграла от dK_i по всему объему U_i звена i:

K_i = = =

= . (2.13)

Матрица H_i = , называемая матрицей инерции звена i, имеет вид

H_i = =

= , (2.14)

где m_i – масса i-го звена.

С учетом введенной матрицы H_i формула (2.13) перепишется в виде

K_i = . (2.15)

Кинетическая энергия всего манипулятора имеет вид

K = = . (2.16)

Из формулы (1.42) видно, что

= (2.17)

и

= . (2.18)

Тогда из формулы (2.16) получим

K = = =

=

= | = (a₁ + a₂ +...+ a_i) (b₁ + b₂ +...+ b_i) = | =

= = . (2.19)

Формула (2.19) представляет собой окончательное выражение для вычисления кинетической энергии манипулятора.

2.3. Потенциальная энергия манипулятора

Рассмотрим манипулятор (рис. 2.1).

Потенциальная энергия манипулятора равна сумме потенциальных энергий его звеньев:

П = . (2.20)

Потенциальная энергия i-го звена равна

П_i = gm_i , (2.21)

где m_i – масса i-го звена; – высота центра масс i-го звена в базовой системе координат; g – ускорение свободного падения.

Из формулы (1.36) имеем

, (2.22)

где – радиус-вектор точки C_i в неподвижной системе координат, – радиус-вектор точки C_i в системе координат, связанной с i-м звеном. Здесь C_i (i = 1, ..., n) – центр масс i-го звена.

Распишем формулу (2.22) покоординатно:

= S_i . (2.23)

В векторе нас интересует только величина . Чтобы выделить ее из вектора , умножим вектор ₃ = [0, 0, 1, 0] на левую часть формулы (2.23):

= [0, 0, 1, 0] = (₃, ) = (₃, S_i ). (2.24)

Подставим (2.24) в (2.21):

П_i = gm_i = gm_i(₃, S_i ) = g(₃, m_iS_i ). (2.25)

Подставим (2.25) в (2.20):

П = = = . (2.26)

Уравнение (2.26) представляет собой окончательное уравнение для вычисления потенциальной энергии манипулятора.