2.11 Закон Архімеда

Розглянемо тіло довільної форми, занурене в рідину (рисунок 2.20).

Рисунок 2.20

Визначимо сили тиску рідини на це тіло. Горизонтальні та вертикальні сили, що діють на тіло, визначають як сили, що діють на криволінійні поверхні. Тоді - горизонтальна сила, що діє на тіло зліва, - горизонтальна сила, що діє на тіло справа.

Оскільки площі вертикальних криволінійних поверхонь САД і СВД дорівнюють одна одній, а центри їхньої ваги занурені на однакову глибину

, .

Якби ця рівність не зберігалася, тіло вийшло б зі стану рівноваги і почало б рухатися горизонтально.

Вертикальні сили тиску на криволінійній поверхні АДВ і АСВ визначають як сили ваги тіл тиску, опертих на ці поверхні.

Вертикальна складова сили тиску на поверхню АДВ діє зверху донизу і дорівнює

.

Для поверхні АСВ вертикальна складова сили тиску діє знизу вгору і дорівнює

.

Результуюча сила

.

Отже на тіло, яке міститься в рідкому середовищі, діє сила, що напрямлена вгору і дорівнює вазі рідини, витісненою тілом. Цю силу називають архімедовою або виштовхувальною:

, (2.49)

де - об’єм зануреного в рідину тіла.

Закон Архімеда: на занурене у рідину тіло діє виштовхувальна сила, яка напрямлена вертикально вгору, по величині дорівнює вазі рідини в об’ємі зануреного тіла та прикладена в центрі ваги цього об’єму.

Залежно від співвідношення ваги тіла і виштовхувальної сили можуть бути три варіанти стану тіла, зануреного в рідину:

а) якщо > - тіло потоне, бо рівнодійна сила напрямлена вниз;

б) якщо = - тіло перебуває у рівновазі на тій глибині, на яку воно занурено;

в) якщо < - тіло підніметься вгору.

Слід зауважити наступне. Якщо частина тіла почне підніматися над поверхнею води, об’єм води, який був виштовхнутий тілом, зменшиться, і від цього стане меншою сила . Коли дорівнюватиме , підняття догори закінчиться.

2.12 Основи теорії плавання тіл

На занурене в рідину тіло діють сила ваги тіла і сила тиску рідини на зовнішню поверхню тіла (рисунок 2.21).

Рисунок 2.21

Сила ваги прикладена в центрі ваги тіла (точка С) і напрямлена вниз:

.

Сила тиску рідини на зовнішню поверхню тіла прикладена в центрі ваги витисненого об’єму рідини (точка Д):

.

Вагу рідини, яку витісняє тіло, називають водотоннажністю . Центр ваги маси рідини в об’ємі зануреної частини тіла (точка прикладання сили ) називають центром водотоннажності (точка Д).

Отже, точка С – центр ваги всього твердого тіла, зануреного в рідину; точка Д – центр ваги маси рідини в об’ємі зануреної частини тіла. Частіше всього точки С і Д не збігаються між собою.

Здатність тіла плавати у зануреному або частково зануреному стані при певній вазі називають плавучістю. Умови плавання визначаються співвідношенням ваги тіла і виштовхувальної сили . Сили і утворюють пару сил, яка діє на тіло:

.

Залежно від співвідношення ваги тіла і виштовхувальної сили можуть бути три варіанти стану зануреного в рідину тіла:

а) якщо > 0, тобто > - тіло піднімається вгору;

б) якщо < 0, тобто < - тіло тоне;

в) якщо = 0, тобто = - тіло знаходиться в рівновазі на тій глибині, де наступає цей баланс сил.

Питома величина сумарної сили, яка діє на тіло

.

Якщо тіло повністю занурено в рідину ( ), тоді

.

Здатність плаваючого тіла повертатися в стан рівноваги після припинення дії відхиляючої сили називають остійністю.

Внаслідок дії на плаваюче тіло відхиляючої сили центр ваги тіла С не змінить свого положення, а центр водотоннажності Д переміститься в інше положення (рисунок 2.22).

Рисунок 2.22

Можуть бути два варіанта стану плаваючого тіла: перший - тіло втрачає рівновагу і тоне, другий - тіло відновлює стан рівноваги. Для остійного плавання тіла, повністю зануреного в рідину, необхідно, щоб центр ваги тіла С знаходився нижче центра водотоннажності Д. Тому, якщо внаслідок дії відхиляючої сили виникає поновлюючий момент - плавання остійне, якщо внаслідок відхиляючої сили виникає перекидний момент - плавання неостійне.

Розглянемо випадок, коли тіло плаває у частково зануреному стані (рисунок 2.23).

Рисунок 2.23

Основні визначення для частково зануреного тіла:

а) площина плавання – це площина вільної поверхні;

б) вісь плавання – це лінія, що з’єднує центр ваги тіла С і центр водотоннажності Д, коли тіло знаходиться у рівновазі;

в) ватерлінія – це лінія перетину площини плавання і бічної поверхні плаваючого частково зануреного тіла;

г) метацентр – це точка перетину вісі плавання і лінії дії виштовхуючої сили  (точка М);

д) метацентричний радіус – це відстань між метацентром М і центром водотоннажності Д (відстань r_м);

е) ексцентриситет - це відстань між центром ваги С і центром водотоннажності Д (відстань е);

ж) метацентрична висота – це різниця між метацентричним радіусом r_м і ексцентриситетом е (відстань  ):

.

Якщо метацентр М розташований вище центра ваги С, то тіло намагається відновити початкове положення (плавання остійне) (рисунок 2.23 а).

Якщо метацентр М розташований нижче центра ваги С, то сили і будуть намагатися перекинути тіло (плавання неостійне) (рисунок 2.23 б).

При остійному плаванні  > е, а при неостійному -  < е. Відповідно: при остійному плаванні  > 0, при неостійному -  < 0 ( ).

Метацентричний радіус r_м визначають за формулою

, (2.50)

де - момент інерції площини плавання відносно вісі О-О^¢;

 - об’ємна водотоннажність (об’єм тіла, зануреного в рідину).

Тоді метацентричну висоту  визначають за формулою

. (2.51)

Аналіз взаємного розташування центра ваги, центра водотоннажності та метацентра приводить до таких можливих випадків:

а) при положенні центра ваги нижче центра водотоннажності тіло, що вільно плаває, буде завжди остійним;

б) при положенні центра ваги вище за центр водотоннажності тіло буде остійним, якщо метацентр розташований вище від центра ваги;

в) у цілком зануреного тіла при нахиленні центр водотоннажності не буде переміщуватися, тому внаслідок незмінності форми зануреного об’єму метацентр суміститься з центром водотоннажності. В цьому випадку умова остійності виконується тільки при розташуванні центра ваги нижче від центра водотоннажності.