Приложение II
В
своих работах в 1916-1917 гг. Эйнштейн не
только ввел коэффициенты для количественного
описания процессов излучения и поглощения
атомами фотонов, но также установил
связь между коэффициентами, частными
случаями которой являются связь
коэффициентов
и
в виде соотношения (I.6),
непосредственно полученного Эйнштейном,
и связь коэффициентов
и
в виде соотношения (I.7)
(см. Приложение I). По Эйнштейну связь
между коэффициентами
,
и
можно получить на основе следующих
рассуждений. В условиях термодинамического
равновесия процессы излучения и
поглощения должны количественно
уравновешивать друг друга (говорят о
справедливости принципа
детального равновесия
в условиях термодинамического равновесия).
Согласно принципу детального равновесия
можно записать следующее равенство для
чисел переходов
,
и
(см. выражения (1), (I.2)
и (I.4)):
.
(II.1)
Согласно
(II.1)
общее число излучательных переходов в
виде суммы чисел для спонтанного и
вынужденного переходов уравновешивается
числом поглощательных переходов. При
использовании выражений (1), (I.2)
и (I.4)
с заменой чисел атомов
и
на концентрации атомов
и
имеем следующее уравнение, включающее
в себя интегральные коэффициенты
Эйнштейна
,
и
:
.
(II.2)
Далее
для установления связи между коэффициентами
,
и
разрешают
уравнение (II.2)
по отношению к
и сопоставляют спектральную плотность
с равновесной планковской спектральной
плотностью
обычно в предположении, что спектральные
переходы в атоме являются узкими (по
существу это предположение уже делается
при записи соотношения (II.2)),
т.е. в пределах переходов в атоме частота
полагается очень близкой к характерной
частоте переходов
,
а энергия светового кванта
очень близкой к энергии
:
,
(II.3)
,
(II.4)
. (II.5)
Выражение
(II.3)
непосредственно получается из уравнения
(II.2).
Выражение (II.4)
получено из (II.3)
при использовании закона Больцмана
(см. часть ”Принцип работы лазера”) при
замене разности энергий
величиной
:
.
Выражение (II.5)
получается из (I.1)
при замене частоты
частотой
.
Выражения (II.4)
и (II.5)
имеют схожую структуру. Выражение (II.4)
переходит в выражение (II.5),
что должно быть в условиях термодинамического
равновесия, если в (II.4)
положить:
,
(II.6)
.
(II.7)
Выражения
(II.6)
и (II.7)
показывают взаимосвязь интегральных
коэффициентов Эйнштейна. В условиях
термодинамического равновесия принцип
детального равновесия справедлив также
для чисел переходов, записанных для
любого бесконечно малого интервала
частот
в пределах уширенных переходов в атоме,
но теперь уже с использованием спектральных
коэффициентов Эйнштейна
,
и
,
связанных через профиль уширения
(см. часть ''Принцип работы лазера'') с
интегральными коэффициентами Эйнштейна
соотношениями:
и
.
В этом случае для узкого перехода в
атоме справедливы будут уравнение
(II.2)
и выражения (II.3)
и (II.4)
с заменой интегральных коэффициентов
Эйнштейна
,
и
на спектральные коэффициенты Эйнштейна
,
и
.
Сравнение теперь выражений (II.4)
и (II.5)
при замене в (II.4)
отношений
и
отношениями
и
приводит к взаимосвязи спектральных
коэффициентов
,
и
,
аналогичной связи интегральных
коэффициентов согласно соотношениям
(II.6)
и (II.7):
,
(II.8)
.
(II.9)
Соотношение (II.7) было использовано ранее в виде соотношения (I.6). Соотношение (II.9) было использовано в выражениях (I.7) и (6) (см. часть ”Принцип работы лазера”).