Федеральное агентство по образованию
ГОУ ВПО «Тульский государственный университет»
Кафедра "Автоматизированные станочные системы"
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА
Практическая работа №3
Методы решения нелинейных уравнений
Тула 2007
Задание
Решить нелинейное уравнение f(x)=0 численными методами: методом половинного деления, методом простой итерации, методом Ньютона, методом секущих, методом парабол с точностью до 0,000001.
Теоретическая часть
В процессе приближенного отыскания корней уравнения выделяют два этапа: отделение корня и уточнение корня.
Под отделением
корня понимается определение промежутка,
содержащего один и только один корень
уравнения. Одна из точек этого промежутка
принимается за начальное приближения
корня. Для этого применяется графический
метод определения действительных
корней, обладающей большой наглядностью
и позволяющий относительно просто
устанавливать возможность существования
кратных корней. При графическом отделении
корней бывает полезным представить
уравнение в эквивалентном виде
и искать точки пересечения функций
и
.
В ряде случаев может быть полезной теорема, известная из курса математического анализа.
ТЕОРЕМА. Если
функция f(x),
определяющая уравнение f(x)
= 0 , на концах
отрезка
принимает значения разных знаков, т. е.
,
то на этом отрезке содержится по крайней
мере один корень уравнения. Если же
функция f(x)
непрерывна
и дифференцируема и ее производная
сохраняет знак внутри отрезка
,
то на этом отрезке находится только
один корень
уравнения.
В случае, когда на концах интервала функция имеет одинаковые знаки, на этом интервале корни либо отсутствуют, либо их четное число.
Известно, что
интервал, на котором расположены корни
многочлена n-й
степени
в том числе и комплексные, выражается
соотношением
.
Кроме того, по
правилу знаков Декарта разность
между числом перемен знаков
последовательности
и числом положительных корней является
либо положительным числом, либо нулем
(в случае действительных корней). Это
правило распространяется и на отрицательные
корни при замене х
на –х.
Правило Декарта позволяет также оценить
число действительных корней на интервале
.
Для этого обозначим
и применим правило знаков к уравнению
Для отделения корня полезно также использовать теорему Гюа.
ТЕОРЕМА ГЮА. Если
все корни алгебраического уравнения
являются действительными числами, то
для последовательности коэффициентов
квадрат
каждого некрайнего коэффициента больше
произведения соседних с ним коэффициентов,
т. е.
>
,
k
= 1, 2, …, n-1.
ТЕОРЕМА. Если для
каких-либо k
выполнено неравенство
то многочлен имеет по крайней мере пару
комплексных корней.
1 Метод половинного деления
Пусть действительный
корень уравнения f(x)
= 0 отделен
и функция f(x)
непрерывна
на интервале [a,
b]
отделения
корня. Построим процесс сужения интервала
[a,
b]
так, чтобы искомый корень всегда находился
внутри суженного интервала. Очевидно,
что в этом случае погрешность приближенного
значения корня не превышает
,
где
- граничные точки интервала на k-й
итерации. Найдем середину отрезка
и вычислим
Составим произведения
и
.
Из двух половин отрезков выберем тот,
в котором произведение является
отрицательной величиной, и обозначим
новые границы отрезка через
Затем новый
отрезок разделим пополам, вновь составим
аналогичные произведения и выберем тот
из отрезков, в котором произведение –
величина отрицательная.