3.2.14. Итерационный способ вычисления интерполяционного полинома (способ Эйткена)

Для линейного интерполирования имеем

(*)

В случае, когда точность линейной интерполяции недостаточна, необходимо повышать степень интерполяционного многочлена, привлекая большее число значений .

В частности, интерполяционный многочлен второй степени, проходящий через точки , может быть вычислен по формуле

, (**)

где и определены по (*).

Многочлен третьей степени, проходящий через точки , определяется аналогичной формулой

. (***)

Интерполяционный многочлен й степени, принимающий в точках соответственно табличные значения , определяется формулой

. (****)

Это и есть итерационный способ Эйткена.

3.2.15. Интерполяционный многочлен Ньютона

Интерполяционный многочлен Ньютона для неравномерных промежутков может быть представлен в виде

, (*)

где

.

Величина носит название разделённой разности го порядка.

В случае равных промежутков формула (*) упрощается, сделаем замену переменной , получим

, (**)

где

,

- конечные разности первого порядка,

- конечные разности второго порядка и т. д.

Формула (**) носит название интерполирования вперёд.

Сделаем замену , получим формулу для интерполирования назад

. (***)

Здесь

Остаточные члены для (**) и (***) выражаются соответственно

и .

3.2.16. Интерполяционный многочлен Гаусса

Интерполяционные формулы с центральными разностями. Рассмотрим в качестве узлов точки , получим интерполяционную формулу Гаусса для интерполяции вперёд

(G^*)

Если взять в качестве узлов , то получим интерполяционную формулу Гаусса для интерполяции назад

(G^**)

3.2.17. Интерполяционный многочлен Стирлинга

Полусумма (G^*) и (G^**) даёт формулу Стирлинга

(S)

Здесь используются разности чётного порядка с индексом и полусуммы разностей нечётного порядка с индексами и :

.

3.2.18. Интерполяционный многочлен Эверетта

Исключив из интерполяционной формулы (G^*) разности нечётного порядка, получим важную формулу Эверетта:

, (E)

где , а разности, используемые в формуле, подчёркнуты в таблице

3.2.19. Интерполяционный многочлен Бесселя

Приведём формулу Бесселя

Здесь

3.2.20. Тригонометрическое интерполирование

Периодические функции интерполируют тригонометрическими многочленами вида:

Общее решение интерполяционной задачи даёт многочлен

,

где

.

Выражение существенно упрощается в случае равноотстоящих узлов

.

Именно:

.

Для чётных периодических функций интерполяционный многочлен имеет вид

.

Для нечётных периодических функций интерполяционный многочлен имеет вид

.

3.2.21. Ортогональные многочлены

Свойство ортогональности многочленов

.

Если, кроме того,

,

то говорят, что многочлены образуют отро-нормированную систему.

Ортогональные многочлены являются специальными решениями линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка.

3.2.22. Вычисление коэффициентов ортогонального многочлена Лагерра

Коэффициенты ортогонального многочлена Лагерра вычисляются по формуле

.

Вычисление значений многочлена Лагерра по рекуррентной формуле

.

Многочлены Лагерра. Примеры:

3.2.23. Вычисление коэффициентов ортогонального многочлена Лежандра

Коэффициенты ортогонального многочлена Лежандра вычисляются по формуле

.

Пример. .

Вычисление значений многочлена Лежандра по рекуррентной формуле

.

Многочлены Лежандра. Примеры:

3.2.24. Вычисление коэффициентов ортогональных многочленов Эрмита

Коэффициенты ортогонального многочлена Эрмита вычисляются по формуле

.

Пример. .

Вычисление значений многочлена Эрмита по рекуррентной формуле

.

Многочлены Эрмита. Примеры:

3.2.25. Вычисление коэффициентов ортогональных многочленов Чебышева

Коэффициенты ортогонального многочлена Чебышева при вычисляются по формуле

.

Пример. (коэффициенты округляются до целых чисел).

Многочлены Чебышева первого рода и второго рода вычисляются непосредственно по этим формулам или по рекуррентным соотношениям (последние дают меньшую погрешность).

Вычисление значений многочлена Чебышева по рекуррентной формуле

.

Свойства многочленов Чебышева.

1. При четном (нечетном) многочлен содержит только четные (нечетные) степени .

2. Старший коэффициент многочлена при равен .

3. имеет действительных корней в интервале , выражаемых формулой

.

4. , причем

,

где .

5. Многочлен ,

среди всех многочленов й степени со старшим коэффициентом, равным единице, имеет на отрезке наименьшее значение максимума модуля, т.е. не существует такого многочлена й степени со старшим коэффициентом, равным единице, что

Многочлены Чебышева. Примеры: