![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Содержание
- •3. Интерполялия, экстрополяция, аппроксимация, сглаживание 5
- •3. Интерполялия, экстрополяция, аппроксимация, сглаживание
- •3.1. Введение
- •3.2. Интерполяция
- •3.2.1. Полиномиальная интерполяция
- •Аппроксимационная теорема Вейерштрасса.
- •3.2.2. Вычисление значений многочлена. Схема Горнера
- •3.2.3. Линейная интерполяция
- •3.2.4. Квадратичная интерполяция
- •3.2.5. Построение других базисных функций
- •3.2.6. Многочлены Тейлора
- •3.2.7. Лагранжева интерполяция
- •I, j, n : Integer;
- •3.2.8. Ошибки полиномиальной интерполяции
- •3.2.9. Кусочно-линейная интерполяция
- •Var X,y : Array[0..N] of Real;
- •I,j : Integer;
- •Var f:Real;
- •3.2.10. Кусочно-кубическая интерполяция
- •3.2.11. Эрмитов кубический интерполянт
- •3.2.12. Кубические сплайны
- •Var r, s, l : Vect;
- •Var l, I, j : Integer;
- •1 : Begin
- •0 : Begin
- •Var XX:RealType;
- •3.2.13. Кривые Безье. Сплайны
- •3.2.14. Итерационный способ вычисления интерполяционного полинома (способ Эйткена)
- •3.2.15. Интерполяционный многочлен Ньютона
- •3.2.16. Интерполяционный многочлен Гаусса
- •3.2.17. Интерполяционный многочлен Стирлинга
- •3.2.18. Интерполяционный многочлен Эверетта
- •3.3. Аппроксимация данных методом наименьших квадратов
- •3.3.1. Аппроксимация данных методом наименьших квадратов
- •3.3.2. Аппроксимация данных с другими нормами
- •3.3.3. Аппроксимация данных многочленом заданной степени
- •Var X,y:array[1..Nmax] of real;
- •I,n:integer;
- •Литература
- •Простейшие способы интерполяции
- •Интерполяционные полиномы
- •Сплайн-интерполяция
- •Тригонометрическая интерполяция
- •Неклассические методы интерполяции
- •Реконструкция функций
- •Всюду гладкая интерполяция
3.2.10. Кусочно-кубическая интерполяция
Кусочно-линейная интерполяция решает одну проблему, возникающую при полиномиальной интерполяции, – она обладает сходимостью, но порождает при этом другую проблему – недостаток гладкости: график имеет изломы. Поэтому для улучшения гладкости используют кусочно-полиномиальные функции более высокого порядка.
Кусочно-кубическим интерполянтом
является кусочно-кубическая функция,
которая интерполирует данные.
Требования, чтобы кусочно-кубическая функция проходила через заданные точки, недостаточно для единственности (возможны несколько кусочно-кубических интерполянтов), но если наложить условие некоторой гладкости, то можно получить единственный интерполянт.
Построить более гладкий интерполянт – это значит построить интерполянт с большим числом непрерывных на производных.
Эрмитовым кубическим интерполянтом называется кусочно-кубический интерполянт с непрерывной производной.
Кубическим сплайном называется кусочно-кубический интерполянт с двумя непрерывными производными.
Оба типа интерполянтов важны для приложений.
Сегодня известны и применяются сплайны как низких, так и более высоких степеней. Однако наиболее популярны по-прежнему кубические сплайны.
Поскольку третья производная кубической функции постоянна, то любая кусочно-кубическая функция с тремя непрерывными производными в каждом узле должны быть в точности одной и той же кубической функцией на всех интервалах, т. е. на всех интервалах используется один и тот же кубический сплайн, а не разные.
Один полином третьей степени нельзя провести более чем через четыре точки, поэтому для обеспечения гладкости интерполирующей функции, требуют непрерывности в узлах не более двух производных. Требование непрерывности третьей производной, вообще говоря, в задачах интерполяции предъявлять нельзя
3.2.11. Эрмитов кубический интерполянт
На каждом интервале
функция
является кубической и задаётся четырьмя
коэффициентами
.
Для программы, основанной на таком
представлении, потребуется массив для
хранения
и четыре массива
и
для
коэффициентов кубической функции на
каждом интервале. Это называется
кусочно-кубическим представлением.
Используем другое, более наглядное представление.
Определим
базисных функций
и
,
.
Пусть каждая из них является
кусочно-кубической с непрерывной на
производной. Тогда и любая их линейная
комбинация обладает теми же свойствами.
Определение этих функций должно
гарантировать, что
.
В этом случае функция
является эрмитовым кубическим
интерполянтом при любом выборе
.
Потребуем ещё, чтобы
.
Тогда
.
Все эрмитовы кубические интерполянты представляют собой кусочно-кубические функции, интерполирующие по заданным точкам и имеющие по одной непрерывной производной. Значения производных в узлах интерполяции задаются числами . Такая форма представления особенно полезна, если, кроме самих значений в точках , известны ещё и величины углов наклона касательных к интерполируемой функции. В этом случае в качестве естественно брать заданные угловые коэффициенты.
Эрмитов кубический интерполянт не является единственным. Существует параметрическое семейство кусочно-кубических функций, которые интерполируют данных значений и имеют по одной непрерывной производной.
Детали эрмитовой кубической интерполяции.
Пусть
.
Определим на каждом из интервалов
,
,
четыре кубические функции
Теперь определим
и
как
Положим для
а для
Наконец, определим
.
Обрисуем свойства этих функций на
примере
.
По данному выше определению
тождественно равна нулю при
и
.
Для
имеем
.
Для
имеем
.
Из этих формул видно, что функция
определена при всех
и является кусочно-полиномиальной. Она
обращается в нуль в каждом узле. В точках
и
у неё нули второго порядка, следовательно,
в этих точках и производная обращается
в нуль.
В узле
производную можно вычислить по одной
из двух формул, в зависимости от того,
приближаемся мы к
слева или справа.
Производная слева равна
,
производная справа равна
.
Поскольку односторонние производные
с обеих сторон равны, то
.
Можно доказать, что функции
и
,
непрерывны и имеют непрерывную производную
на всем интервале
,
непрерывную производную имеет и сама
функция
,
следовательно, она является эрмитовым
кубическим интерполянтом. Функцию
легко вычислить, если известны величины
.
Для нахождения интерполянта в произвольной
фиксированной точке
достаточно заметить, что функции
и
отличны от нуля не более чем на двух
интервалах. Поэтому большинство членов
в сумме тождественно равны нулю; надо
учитывать не более четырёх слагаемых.
Итак, вычисление значения
включает в себя, во-первых, локализацию
в некотором интервале (между
и
),
во-вторых, вычисление членов
,
в-третьих, умножение на требуемые
и
и суммирование.