1. Кейнсианская модель формирования доходов:

где , - соответственно представляют собой совокупный выпуск, объем потреблении и инвестиций. Здесь рассматривается как экзогенная переменная, а — как эндогенная. Такая модель описывает закрытую экономику без государственного вмешательства. Модель содержит одно поведенческое уравнение и од­но тождество.

Очевидно, модель является идентифицируемой. Ее приведенная форма имеет вид:

Известна более поздняя модификация статистической модели Кейнса, включающая функцию сбережений:

где - сбережения.

Модель содержит три эндогенные переменные - и одну экзогенную переменную - . Система идентифицируема: в первом уравнении и , во втором и . – предопределенная переменная.

2. Динамическая конъюнктурная модель Клейна:

где - функция потребления в период ; - заработная плата в период ; – прибыль в период ; – прибыль в период ; - общий доход в период ; общий доход в период ; – время; - чистые трансферты в пользу администрации в период ; – капиталовложения в период ; – спрос административного аппарата, правительственные расходы в период времени .

3. Модель формирования спроса и предложения, состоящая из трех уравнений (двух поведенческих и одного тождества):

где - предлагаемое количество благ (объем предложения),

- спрашиваемое количество благ (объем спроса),

- цена.

В этой системе 3 эндогенные переменные - . При этом если переменные представляют собой эндогенные переменные исходя из структуры самой системы (они расположены в левой части), то является эндогенной переменной по экономическому содержанию (цена зависит от предлагаемого и спрашиваемого количества благ), а также в результате наличия тождества .

Рассматриваемая модель спроса и предложения не содержит экзогенной переменной. Для того, чтобы модель имела статистическое решение и можно было убедиться в ее справедливости, в модель вводятся экзогенные переменные. Одним из вариантов модели спроса и предложения является модель вида:

где - доход на душу населения,

- климатические условия (или другие факторы внешней среды).

Переменные и – экзогенные, введя их в модель, получим идентифицируемую структурную модель, оценки параметров которой могут быть даны с помощью КМНК.

Как уже отмечалось, не все эконометрические модели имеют вид системы одновременных уравнений. Так, широкий класс функций спроса на ряд потребительских товаров часто представляет собой рекурсивную систему, в которой с уравнениями можно работать последовательно и проблемы одновременного оце­нивания не возникают. В этом плане система одновременных уравнений — лишь один из возможных вариантов построения экономических моделей.

6. Моделирование временных рядов (6 часов)

Эконометрическую модель можно построить, используя два типа исходных данных: 1) данные, характеризующие совокупность различных объек­тов в определенный момент (период) времени; 2) данные, характеризующие один объект за ряд последова­тельных моментов (периодов) времени.

Модели, построенные по данным первого типа, называются пространственными моделями. Модели, построенные по данным второго типа, называются моделями временных рядов.

Временной ряд — это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов (периодов) времени. Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы: 1) факторы, формирующие тенденцию ряда; 2) факторы, формирующие циклические колебания ряда; 3) случайные факторы.

При различных сочетаниях этих факторов зависимость уров­ней ряда от времени может принимать разные формы. Во-первых, большинство временных рядов экономических показателей имеют тенденцию, характеризующую совокупное долговременное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. По всей видимости, эти факторы, взятые в отдельности, могут оказывать разнонаправленное воздействие на исследуемый показатель. Однако в совокупности они форми­руют его возрастающую или убывающую тенденцию. Во-вторых, изучаемый показатель может быть подвержен циклическим колебаниям. Эти колебания могут носить сезон­ный характер, поскольку экономическая деятельность ряда от­раслей зависит от времени года. При наличии больших массивов данных за длительные промежутки времени можно выявить циклические колебания, связанные с общей динамикой конъюнктуры рынка, а также с фазой бизнес-цикла, в которой находится экономика страны. Некоторые временные ряды не содержат тенденции и цикли­ческую компоненту, а каждый следующий их уровень образуется как сумма среднего уровня ряда и некоторой (положительной или отрицательной) случайной компоненты.

Очевидно, что реальные данные не соответствуют полностью ни одной из описанных выше моделей. Чаще всего они содержат все три компоненты. Каждый их уровень формируется под воз­действием тенденции, сезонных колебаний и случайной компо­ненты. В большинстве случаев фактический уровень временного ря­да можно представить как сумму или произведение трендовой, циклической и случайной компонент. Модель, в которой времен­ной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, назы­вается аддитивной моделью временного ряда. Модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент, называется мультипликативной моделью временного ряда. Основная задача эконометрического исследования отдель­ного временного ряда — выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленных выше компонент, с тем чтобы использовать полученную информацию для прогнозиро­вания будущих значений ряда или при построении моделей взаи­мосвязи двух или более временных рядов.

При наличии тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих значений. Корреляционную зависимость между последователь­ными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда. Количественно ее можно измерить с помощью парного линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени.

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называется лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Считается целесооб­разным для обеспечения статистической достоверности коэффи­циентов автокорреляции использовать правило «максимальный лаг должен быть не больше n/4».

Отметим два важных свойства коэффициента автокорреляции. Во-первых, он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и, таким образом, характеризует тесноту только ли­нейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линей­ной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых времен­ных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент авто­корреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю. Во-вторых, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уров­нях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом они могут иметь убывающую тенденцию.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уров­ней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляцион­ной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называ­ется коррелограммой. Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы поз­воляет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, следовательно, лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, т.е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреля­ции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенден­цию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокор­реляции порядка , ряд содержит циклические колебания с пери­одичностью в моментов времени. Если ни один из коэффици­ентов автокорреляции не является значимым, можно сделать предположение относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний и имеет структуру, сходную со структурой ряда, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент авто­корреляции уровней и автокорреляционную функцию целесооб­разно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты и циклической (сезонной) компоненты . Аналогично, если, например, при анализе временного ряда наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции вто­рого порядка, ряд содержит циклические колебания с циклом, равным двум периодам времени, т.е. имеет пилообразную струк­туру.

Одним из наиболее распространенных способов моделирова­ния тенденции временного ряда является построение аналитиче­ской функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени, или тренда. Этот способ называют аналитическим вы­равниванием временного ряда.

Поскольку зависимость от времени может принимать разные формы, для ее формализации можно использовать различные ви­ды функций. Для построения трендов чаще всего применяются следующие функции: линейная, экспоненциальная, степенная функции; гипербола, парабола второго порядка и более высоких порядков.

Параметры каждого из перечисленных выше трендов можно определить обычным МНК, используя в качестве независимой переменной время , а в качестве зависимой перемен­ной — фактические уровни временного ряда . Для нелинейных трендов предварительно проводят стандартную процедуру их ли­неаризации.

Известно несколько способов определения типа тенденции; к наиболее распространенным относятся качественный анализ изучаемого процесса, построение и визуальный анализ графика зависимости уровней ряда от времени, расчет некоторых основных показателей динамики. В этих же целях можно использовать и коэффициенты автокорреляции уровней ряда. Тип тенденции можно определить путем сравнения коэффициентов автокорреляции первого порядка, рассчитанных по исходным и преобразованным уровням ряда. Если временной ряд имеет линейную тенденцию, то его соседние уровни и тесно коррелируют. В этом случае коэффициент автокорреляции первого порядка уровней исходного ряда должен быть высоким. Если временной ряд содержит нелинейную тенденцию, например, в форме экспоненты, то коэффициент автокорреляции первого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет выше, чем соответствующий коэффициент, рассчитанный по уровням ряда. Чем сильнее выражена нелинейная тенденция в изучаемом временном ряде, тем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов.

Выбор наилучшего уравнения в случае, если ряд содержит линейную тенденцию, можно осуществить путем перебора основных форм тренда, расчета по каждому уравнению скорректированного коэффициента детерминации и выбора уравнения тренда с максимальным значением скорректированного коэффициента детерминации. Реализация этого метода относительно проста при компьютерной обработке данных.

При наличии неявной нелинейной тенденции следует допол­нять описанные выше методы выбора наилучшего уравнения тренда качественным анализом динамики изучаемого показате­ля, с тем чтобы избежать ошибок спецификации при выборе ви­да тренда. Качественный анализ предполагает изучение проблем возможного наличия в исследуемом временном ряде поворотных точек и изменения темпов прироста, или ускорения темпов при­роста, начиная с определенного момента (периода) времени под влиянием ряда факторов, и т.д. В случае, если уравнение тренда выбрано неверно при больших значениях , результаты анализа и прогнозирования динамики временного ряда с использованием выбранного уравнения будут недостоверными вследствие ошиб­ки спецификации.

Известно несколько подходов к анализу структуры времен­ных рядов, содержащих сезонные или циклические колебания. Моделирование циклических колебаний в целом осуществляется ана­логично моделированию сезонных колебаний, поэтому мы рассмотрим только методы моделирования последних. Простейший подход — расчет значений сезонной компонен­ты методом скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной модели временного ряда.

Общий вид аддитивной модели следующий:

.

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ря­да может быть представлен как сумма трендовой , сезонной и случайной компонент. Общий вид мультипликативной моде­ли выглядит так:

.

Данная модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой , сезонной и случайной компонент. Выбор одной из двух моде­лей проводится на основе анализа структуры сезонных колеба­ний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различ­ных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ря­да, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезон­ной компоненты. Построение аддитивной и мультипликативной моделей сво­дится к расчету значений , и для каждого уровня ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.

1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.

2. Расчет значений сезонной компоненты .

3. Устранение сезонной компоненты из исходных уров­ней ряда и получение выровненных данных в аддитивной или в мультипликативной модели. | 4. Аналитическое выравнивание уровней или и расчет значений с использованием полученного урав­нения тренда.

5. Расчет полученных по модели значений или .

6. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок.

Если полученные значения ошибок не содержат автокорреля­ции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.

Еще одним методом моделирования временного ряда, содержащего сезонные колебания, является построение модели рег­рессии с включением фактора времени и фиктивных перемен­ных. Количество фиктивных переменных в такой модели должно быть на единицу меньше числа моментов (периодов) времени внутри одного цикла колебаний. Например, при моделировании поквартальных данных модель должна включать четыре незави­симые переменные — фактор времени и три фиктивные перемен­ные. Каждая фиктивная переменная отражает сезонную (цикли­ческую) компоненту временного ряда для какого-либо одного периода. Она равна единице для данного периода и нулю для всех остальных периодов.

Пусть имеется временной ряд, содержащий циклические ко­лебания периодичностью . Модель регрессии с фиктивными пе­ременными для этого ряда будет иметь вид:

,

где для каждого внутри каждого цикла; во всех остальных случаях.

Например, при моделировании сезонных колебаний на осно­ве поквартальных данных за несколько лет число кварталов вну­три одного года , а общий вид модели следующий:

,

где для первого квартала, во всех остальных случаях;

для второго квартала, во всех остальных случаях;

для третьего квартала, во всех остальных случаях.

Уравнение тренда для каждого квартала будет иметь следующий вид:

1. для первого квартала ,

2. для второго квартала ,

3. для третьего квартала ,

4. для четвертого квартала .

Таким образом, фиктивные переменные позволяют дифференцировать величину свободного члена уравнения регрессии для каждого квартала. Она составит для первого квартала , для второго квартала , для третьего квартала , для четвертого квартала . Параметр в этой модели характеризует среднее абсолютное изменение уровней ряда под воздействием тенденции. В сущности модель сезонных колебаний, построенная на основе поквартальных данных, представляет собой аналог аддитивной модели временного ряда, т.к. фактический уровень временного ряда – это сумма трендовой, сезонной и случайной компонент.

Основной недостаток модели с фиктивными переменными для описания сезонных и циклических колебаний – наличие большого количества переменных. Так, если строить модель для описания помесячных периодических колебаний за несколько лет, то такая модель будет включать 12 независимых переменных (11 фиктивных переменных и фактор времени). В такой ситуации число степеней свободы невелико, что снижает вероятность получения статистически значимых оценок параметров уравнения регрессии.

От сезонных и циклических колебаний следует отличать единовременные изменения характера тенденции временного ряда, вызванные структурными изменениями в экономике или иными факторами. В этом случае, начиная с некоторого момента времени происходит изменение характера динамики изучаемого показателя, что приводит к изменению параметров тренда, описывающего эту динамику Схематично такая ситуация изображена на рис. 6.1.

Рис. 6.1. Изменение характера тенденции временного ряда

Момент (период) времени сопровождается значительным изменениями ряда факторов, оказывающих сильное воздействие на изучаемый показатель . Чаще всего эти изменения вызваны изменениями в общеэкономической ситуации или факторами (событиями) глобального характера, приведшими к изменениям структуры экономики (например, начало крупных экономических реформ, изменение экономического курса, нефтяные кризисы и прочие факторы). Если исследуемый временной ряд включает в себя соответствующий момент (период) времени, то одной из задач его изучения становится выяснение вопроса о том, значимо ли повлияли общие структурные изменения на характер этой тенденции. Если это влияние значимо, то для моделирования тенденции данного временного ряда следует использовать кусочно-линейные модели регрессии, т.е. разделить исходную совокупность на две подсовокупности (до момента времени и после момента ) и построить отдельно по каждой подсовокупности уравнение линейной регрессии (на рис. 6.1 этим уравнениям соответствуют прямые (1) и (2)). Если структурные изменения незначительно повлияли на характер тенденции ряда , то ее можно описать с помощью единого для всей совокупности данных уравнения тренда (на рис. 6.1 этому уравнению соответствует прямая (3)).

Каждый из описанных выше подходов имеет свои положи­тельные и отрицательные стороны. При построении кусочно-ли­нейной модели происходит снижение остаточной суммы квадра­тов по сравнению с единым для всей совокупности уравнением тренда. Однако разделение исходной совокупности на две части ведет к потере числа наблюдений и, следовательно, к снижению числа степеней свободы в каждом уравнении кусочно-линейной модели. Построение единого для всей совокупности уравнения тренда, напротив, позволяет сохранить число наблюдений ис­ходной совокупности, однако остаточная сумма квадратов по этому уравнению будет выше по сравнению с кусочно-линейной моделью. Очевидно, что выбор одной из двух моделей (кусочно-линейной или единого уравнения тренда) будет зависеть от соот­ношения между снижением остаточной дисперсии и потерей числа степеней свободы при переходе от единого уравнения рег­рессии к кусочно-линейной модели.

Формальный статистический тест для оценки этого соотно­шения был предложен Грегори Чоу. Применение этого теста предполагает расчет параметров уравнений трендов, графики ко­торых изображены на рис. 6.1 прямыми (1), (2) и (3). Введем систему обозначений, приведенную в табл. 6.1.

Таблица 6.1

Условные обозначения для алгоритма теста Чоу

Номер урав-не­ния	Вид урав­нения	Число наблюдений в совокуп­ности	Остаточ-ная сумма квадратов	Число пара­метров в уравнении1	Число степе­ней свободы остаточной дисперсии
Кусочно-линейная модель
(1)
(2)
Уравнение тренда по всей совокупности
(3)

Выдвинем гипотезу о структурной стабильности тенденции изучаемого временного ряда. Остаточную сумму квадратов по кусочно-линейной модели ( ) можно найти как сумму и .

Соответствующее ей число степеней свободы составит:

Тогда сокращение остаточной дисперсии при переходе единого уравнения тренда к кусочно-линейной модели можно определить следующим образом:

.

Число степеней свободы, соответствующее будет равно:

Далее в соответствии с предложенной Г. Чоу методикой определяется фактическое значение F-критерия по следующим дисперсиям на одну степень свободы вариации:

Найденное значение сравнивают с табличным, полученным по таблицам распределениям Фишера для уровня значимости и числа степеней свободы и .

Если то гипотеза о структурной стабильности тенденции отклоняется, а влияние структурных изменений на динамику изучаемого показателя признают значимым. В этом случае моделирование тенденции временного ряда следует осу­ществлять с помощью кусочно-линейной модели. Если то нет оснований отклонять нулевую гипотезу о структурной стабильности тенденции. Ее моделирование следует осуществлять с помощью единого для всей совокупности уравне­ния тренда.

Отметим следующие особенности применения теста Чоу.

1. Если число параметров во всех уравнениях (1), (2), (3) (см. рис. 6.1 и табл. 6.1) одинаково и равно , то формула фактического значения F-критерия упро­щается:

.

2. Тест Чоу позволяет сделать вывод о наличии или отсутствии структурной стабильности в изучаемом временном ряде. Если , то это означает, что уравнения (1) и (2) описывают одну и ту же тенденцию, а различия численных оценок их пара­метров и , а также и соответственно статистически не­значимы. Если же , то гипотеза о структурной ста­бильности отклоняется, что означает статистическую значимость различий в оценках параметров уравнений (1) и (2).

3. Применение теста Чоу предполагает соблюдение предпо­сылок о нормальном распределении остатков в уравнениях (1) и (2) и независимость их распределений.

Рассмотренный простейший случай применения теста Чоу для моделирования линейной тенденции используется во многих прикладных исследованиях при проверке гипотез о структурной стабильности в более сложных моделях взаимосвязи двух и более временных рядов.